図Ｂで、円Iの半径を求める。

復習

内接円の半径を求める式はひとつしかなくて、三角形の面積を$S$、内接円の半径を$r$としたとき、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}}r(a+b+c)$
だった。

これを使う。

△DBEの面積は${\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$なので、
${\displaystyle \frac{1}{2}}r(\mathrm{DB}+\mathrm{BE}+\mathrm{ED})={\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$
${\displaystyle \frac{1}{2}}r(4+6+5)={\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$
${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 15r={\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$
$r={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}$
である。

解答ケ：７, コ：２

317
三角形と内接円

次は、三角形の内接円との接点と、頂点までの距離の問題。お決まりの解き方である。
内接円と三角形の残りの接点をM, Nとすると、
$\mathrm{BL}=\mathrm{BM},\mathrm{DM}=\mathrm{DN},\mathrm{EL}=\mathrm{EN}$
なので、
$\mathrm{BL}=\mathrm{BM}=x$
とおくと、
$\mathrm{DM}=\mathrm{DN}=4-x$
$\mathrm{EL}=\mathrm{EN}=6-\mathrm{x}$

また、
$\mathrm{DE}=\mathrm{DN}+\mathrm{EN}$
なので、
$(4-x)+(6-x)=5$
$2x=5$
$x={\displaystyle \frac{5}{2}}$
である。

解答サ：５, シ：２

BIは、△BILで三平方の定理を使おう。
${\mathrm{BI}}^2={\mathrm{IL}}^2+{\mathrm{BL}}^2$
$\mathrm{IL}$は内接円の半径なので、
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{BI}}^2& ={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{{\sqrt{7}}^2+5^2}{2^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{32}{2^2}}\\ & =8\end{array}$$ $0<\mathrm{BI}$なので、
$\mathrm{BI}=2\sqrt{2}$
である。

解答ス：２, セ：２

EXは、サシを求めた方法と同じように解こう。

図Cで、
$\mathrm{EX}=\mathrm{EY},\mathrm{DY}=\mathrm{DZ},\mathrm{BX}=\mathrm{BZ}$
なので、
$\mathrm{EX}=\mathrm{EY}=y$
とおくと、
$\mathrm{BX}=6+y$

また、
$\mathrm{DY}=\mathrm{DZ}=5-y$
なので、
$\mathrm{BZ}=4+(5-\mathrm{y})$
ここで、$\mathrm{BX}=\mathrm{BZ}$なので、
$6+y=4+(5-y)$
$2y=3$
$y={\displaystyle \frac{3}{2}}$
となる。

解答ソ：３, タ：２

また、$\mathrm{△}\mathrm{JZB}\equiv \mathrm{△}\mathrm{JXB}$なので、
$\mathrm{\angle }\mathrm{JBE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle }\mathrm{DBE}$

解答チ：１, ツ：２

同様に、
$\mathrm{\angle }\mathrm{IBE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle }\mathrm{DBE}$

解答テ：１, ト：２

以上より$\mathrm{△}\mathrm{BIL}$ ∽ $\mathrm{△}\mathrm{BJX}$ で、相似比は
$$\begin{array}{rl}\mathrm{BL}:\mathrm{BX}& ={\displaystyle \frac{5}{2}}:6+{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2}}:{\displaystyle \frac{15}{2}}\\ & =1:3\end{array}$$ よって、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{BJ}& =3\mathrm{BI}\\ & =3\cdot 2\sqrt{2}\\ & =6\sqrt{2}\end{array}$$ である。

解答ナ：６, ニ：２

急に立体の問題になって、イメージがつかみにくいけど、やってることはたいしたことじゃない。
図Dで、緑の平面が垂直な平面。
図中、$\mathrm{△}\mathrm{OKI}$は直角三角形なので、三平方の定理を使って$\mathrm{KI}$を求めよう。

OKは円Oの半径なので、${\displaystyle \frac{\mathrm{BJ}}{2}}$だから、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{OK}& ={\displaystyle \frac{6\sqrt{2}}{2}}\\ & =3\sqrt{2}\end{array}$$

$\mathrm{OI}=\text{円}\mathrm{O}\text{の半径}-\mathrm{BI}$ なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{OI}& =3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\ & =\sqrt{2}\end{array}$$

三平方の定理より、
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{KI}}^2& ={\mathrm{OK}}^2-{\mathrm{OI}}^2\\ & =(3\sqrt{2}{)}^2-{\sqrt{2}}^2\\ & =16\end{array}$$ $0<\mathrm{KI}$なので、
$\mathrm{KI}=4$

解答ヌ：４

これが三角錐KBDEの高さ。
オカキクより、底面積は${\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}$なので、
三角錐の体積$V$は、
$$\begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{15\sqrt{7}}{4}}\cdot 4\\ & =5\sqrt{7}\end{array}$$ となる。

解答ネ：５, ノ：７