$\vec{a}-\vec{b}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}$なので、
$\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|=1$
より、
$\left|\vec{a}-\vec{b}\right|^{2}=1$

解答ア：１

$\left|\vec{a}-\vec{b}\right|^{2}=1$
の左辺は、$|\vec{A}|^{2}=\vec{A}\cdot\vec{A}$より、
$\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{a}-\vec{b}\right)=1$
$\left|\vec{a}\right|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}=1$
$\displaystyle \left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}$なので、
$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=1$
$2\vec{a}\cdot\vec{b}=2\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-1$
$2\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{5}{2}-1$
$2\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{3}{2}$
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{3}{4}$

解答イ：３, ウ：４

図Ａの△OABの部分だけ取り出して図Ｂをつくってみた。
OからABにおろした垂線の足をHとすると、△AOH≡△BOHなので、
$\displaystyle \mathrm{AH}=\mathrm{BH}=\frac{1}{2}$
また、問題文から
$\displaystyle \mathrm{AO}=\mathrm{BO}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
よって、三平方の定理より、
$\mathrm{OH}=1$
である。

$\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=2\mathrm{OH}$
なので、
$\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=2$式Ａ

解答エ：２

$\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$は$\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$と平行で大きさが半分なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$

解答オ：１, カ：２

$\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}},\ \vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}$は、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}},\ \vec{\mathrm{O}\mathrm{Q}},\ \vec{\mathrm{O}\mathrm{R}}$を求めて、終点へのベクトルから始点へのベクトルを引くのが一般的。
だけど、図も簡単だし、ここでは求めるベクトルの始点から終点まで、ベクトルをつないで移動する方法で出そう。

$\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=\vec{\mathrm{P}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{Q}}$
ここで、
$\left\{\begin{array}{l}
\vec{\mathrm{P}\mathrm{A}}=(1-\mathrm{t})\vec{a}\\
\vec{\mathrm{A}\mathrm{Q}}=t\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}\\
\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})
\end{array}\right.$
なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=(1-t)\vec{a}+\frac{t}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$$\displaystyle =\left(1-\frac{t}{2}\right)\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$$\displaystyle =\frac{2-t}{2}\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}$①
となる。

解答キ：２, ク：２

$\vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}=\vec{\mathrm{P}\mathrm{O}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{B}\mathrm{R}}$
ここで、
$\left\{\begin{array}{l}
\vec{\mathrm{P}\mathrm{O}}=-\mathrm{t}\vec{a}\\
\vec{\mathrm{B}\mathrm{R}}=(1-t)\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}\\
\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})
\end{array}\right.$
なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}=-t\vec{a}+\vec{b}+\frac{1-t}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}$$=\left(-t+\frac{1-t}{2}\right)\vec{a}+\left(1+\frac{1-t}{2}\right)\vec{b}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}$$\displaystyle =\frac{1-3t}{2}\vec{a}+\frac{3-t}{2}\vec{b}$②
である。

解答ケ：３, コ：３

図Ｃで、△PTQの面積は、PTを底辺、高さを緑の線の長さと考えると、
$\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{PT}\times$緑
△PTRの面積は、PTを底辺、高さを空色の線と考えると、
$\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{PT}\times$空色
なので、△PQRの面積$S$は、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{PT}\times$(緑+空色)
緑の線の長さ+空色の線の長さ=1なので、
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\times \mathrm{PT}$式Ｂ
である。

解答サ：１, シ：２

図Ｃのように、点H,Iをおくと、
$\mathrm{AI}:\mathrm{IH}:\mathrm{HB}=1-t:t:1$
よって、
$\mathrm{AI}:\mathrm{IB}=1-\mathrm{t}:1+\mathrm{t}$
なので、
$\mathrm{QT}:\mathrm{TR}=1-t:1+t$
である。

解答ス：２

このことから、
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}=\frac{(1+t)\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}+(1-t)\vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}}{(1-t)+(1+t)}$
となる。
この式は、さらに
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{(1+t)\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}+(1-t)\vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{1+t}{2}\vec{\mathrm{P}\mathrm{Q}}+\frac{1-t}{2}\vec{\mathrm{P}\mathrm{R}}$
と変形できる。

解答セ：６, ソ：５

これに①②を代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}=\frac{1+t}{2}\left(\frac{2-t}{2}\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}\right)$
                  $\displaystyle +\frac{1-t}{2}\left(\frac{1-3t}{2}\vec{a}+\frac{3-t}{2}\vec{b}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{1}{4}[(1+t)\{(2-t)\vec{a}+t\vec{b}\}$
                  $+(1-t)\{(1-3t)\vec{a}+(3-t)\vec{b}\}]$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{1}{4}\{(2t^{2}-3t+3)\vec{a}+(2t^{2}-3t+3)\vec{b}\}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}$$\displaystyle =\frac{1}{4}(2t^{2}-3t+3)(\vec{a}+\vec{b})$式Ｃ
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}$$=\left(\frac{1}{2}t^{2}-\frac{3}{4}t+\frac{3}{4}\right)(\vec{a}+\vec{b})$
である。

解答タ：１, チ：２, ツ：３, テ：４

式Ｃより、PTの長さ$\left|\vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}\right|$は、
$\left|\vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}\right|=\left|\frac{1}{4}(2t^{2}-3t+3)(\vec{a}+\vec{b})\right|$
式Ａより、$\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=2$なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}\right|$$\displaystyle =\frac{1}{2}\left|2t^{2}-3t+3\right|$式Ｄ
となる。
以上より、$0 \lt t \lt 1$の範囲での$\left|2t^{2}-3t+3\right|$の最小値を求めれば、$\left|\vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}\right|$の最小値が分かる。

$0 \lt 2t^{2}-3t+3$だから、
$\left|2t^{2}-3t+3\right|$と$2t^{2}-3t+3$は同じ式だ。
なので、$0 \lt t \lt 1$における$2t^{2}-3t+3$の最小値を求めよう。

$y=2t^{2}-3t+3$とおいて平方完成すると、
$y\displaystyle $$\displaystyle =2\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{15}{8}$
となるので、
$\left|2t^{2}-3t+3\right|$は
$t=\displaystyle \frac{3}{4}$のとき最小値$\displaystyle \frac{15}{8}$

解答ト：３, ナ：４

これを式Ｄに代入して、
$\left|\vec{\mathrm{P}\mathrm{T}}\right|$の最小値$\displaystyle \frac{15}{16}$
これを式Ｂに代入して、
$S$の最小値$\displaystyle \frac{15}{32}$
となる。

解答ニ：１, ヌ：５, ネ：３, ノ：２