$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$なので、
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right|=1$
より、
${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2=1$

解答ア：１

${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2=1$
の左辺は、$|\overrightarrow{A}{|}^2=\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A}$より、
$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=1$
${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=1$
${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}}$なので、
${\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2=1$
$2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2-1$
$2{\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{5}{2}-1}$
$2{\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}}$
${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{4}}$

解答イ：３, ウ：４

図Ａの△OABの部分だけ取り出して図Ｂをつくってみた。
OからABにおろした垂線の足をHとすると、$\mathrm{△}\mathrm{AOH}\equiv \mathrm{△}\mathrm{BOH}$なので、
${\displaystyle \mathrm{AH}=\mathrm{BH}=\frac{1}{2}}$
また、問題文から
${\displaystyle \mathrm{AO}=\mathrm{BO}=\frac{\sqrt{5}}{2}}$
よって、三平方の定理より、
$\mathrm{OH}=1$
である。

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2\mathrm{OH}$
なので、
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2$式Ａ

解答エ：２

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$と平行で大きさが半分なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$

解答オ：１, カ：２

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}},\overrightarrow{\mathrm{PR}}$は、$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\overrightarrow{\mathrm{OQ}},\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を求めて、終点へのベクトルから始点へのベクトルを引くのが一般的。
だけど、図も簡単だし、ここでは求めるベクトルの始点から終点まで、ベクトルをつないで移動する方法で出そう。

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$
ここで、
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(1-\mathrm{t})\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\end{array}$
なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(1-t)\overrightarrow{a}+\frac{t}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}}$${\displaystyle =(1-\frac{t}{2})\overrightarrow{a}+\frac{t}{2}\overrightarrow{b}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}}$${\displaystyle =\frac{2-t}{2}\overrightarrow{a}+\frac{t}{2}\overrightarrow{b}}$①
となる。

解答キ：２, ク：２

$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BR}}$
ここで、
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{PO}}=-\mathrm{t}\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{\mathrm{BR}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\end{array}$
なので、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1-t}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$
$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$$=(-t+\frac{1-t}{2})\overrightarrow{a}+(1+\frac{1-t}{2})\overrightarrow{b}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}}$${\displaystyle =\frac{1-3t}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3-t}{2}\overrightarrow{b}}$②
である。

解答ケ：３, コ：３

図Ｃで、△PTQの面積は、PTを底辺、高さを緑の線の長さと考えると、
${\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{PT}\times }$緑
△PTRの面積は、PTを底辺、高さを空色の線と考えると、
${\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{PT}\times }$空色
なので、△PQRの面積$S$は、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{PT}\times }$(緑+空色)
緑の線の長さ+空色の線の長さ=1なので、
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\times \mathrm{PT}}$式Ｂ
である。

解答サ：１, シ：２

図Ｃのように、点H,Iをおくと、
$\mathrm{AI}:\mathrm{IH}:\mathrm{HB}=1-t:t:1$
よって、
$\mathrm{AI}:\mathrm{IB}=1-\mathrm{t}:1+\mathrm{t}$
なので、
$\mathrm{QT}:\mathrm{TR}=1-t:1+t$
である。

解答ス：２

このことから、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{(1+t)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{PR}}}{(1-t)+(1+t)}}$
となる。
この式は、さらに
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}}$${\displaystyle =\frac{(1+t)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{PR}}}{2}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}}$${\displaystyle =\frac{1+t}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1-t}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}}$
と変形できる。

解答セ：６, ソ：５

これに①②を代入して、
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1+t}{2}(\frac{2-t}{2}\overrightarrow{a}+\frac{t}{2}\overrightarrow{b})}$
                  ${\displaystyle +\frac{1-t}{2}(\frac{1-3t}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3-t}{2}\overrightarrow{b})}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}[(1+t)\{(2-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\}}$
                  $+(1-t)\{(1-3t)\overrightarrow{a}+(3-t)\overrightarrow{b}\}]$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}\{(2t^2-3t+3)\overrightarrow{a}+(2t^2-3t+3)\overrightarrow{b}\}}$
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}(2t^2-3t+3)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$式Ｃ
$\overrightarrow{\mathrm{PT}}$$=(\frac{1}{2}{t}^2-\frac{3}{4}t+\frac{3}{4})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
である。

解答タ：１, チ：２, ツ：３, テ：４

式Ｃより、PTの長さ$\left|\overrightarrow{\mathrm{PT}}\right|$は、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PT}}\right|=|\frac{1}{4}(2t^2-3t+3)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})|$
式Ａより、$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2$なので、
${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{PT}}\right|}$${\displaystyle =\frac{1}{2}|2t^2-3t+3|}$式Ｄ
となる。
以上より、$0<t<1$の範囲での$|2t^2-3t+3|$の最小値を求めれば、$\left|\overrightarrow{\mathrm{PT}}\right|$の最小値が分かる。

$0<2t^2-3t+3$だから、
$|2t^2-3t+3|$と$2t^2-3t+3$は同じ式だ。
なので、$0<t<1$における$2t^2-3t+3$の最小値を求めよう。

$y=2t^2-3t+3$とおいて平方完成すると、
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =2{(t-\frac{3}{4})}^2+\frac{15}{8}}$
となるので、
$|2t^2-3t+3|$は
$t={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{15}{8}}$

解答ト：３, ナ：４

これを式Ｄに代入して、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PT}}\right|$の最小値${\displaystyle \frac{15}{16}}$
これを式Ｂに代入して、
$S$の最小値${\displaystyle \frac{15}{32}}$
となる。

解答ニ：１, ヌ：５, ネ：３, ノ：２