247
真数条件

真数条件より、
$\{\begin{array}{l}0<3-\sqrt{x}\\ 0\leqq x\end{array}$
上の式は、さらに
$\sqrt{x}<3$

33
平方根

$0\leqq \sqrt{x}$なので、両辺を２乗して、
$x<9$
46
連立不等式の
解法(一次) よって、
$0\leqq x<9$②

解答ア：９

次に問題文は
$y={\log }_{\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x}{)}^2$式Ａ
とおけという。先が見えないので、問題の流れに乗ってゆこう。

247
指数と対数の
関係

式Ａを変形して、
${\left(\frac{1}{8}\right)}^y=(3-\sqrt{x}{)}^2$

238
指数法則

両辺を${\log }_2$に入れて、
${\log }_2{\left(\frac{1}{8}\right)}^y={\log }_2(3-\sqrt{x}{)}^2$
${\log }_2{\left(2^{-3}\right)}^y={\log }_2(3-\sqrt{x}{)}^2$
${\log }_2{2}^{-3y}={\log }_2(3-\sqrt{x}{)}^2$

247
対数の性質

$-3y{\log }_{2}2=2{\log }_2(3-\sqrt{x})$
$-3y\cdot 1=2{\log }_2(3-\sqrt{x})$
$y=-{\displaystyle \frac{2}{3}{\log }_2(3-\sqrt{x})}$

解答イ：２, ウ：３

となるので、
${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x}{)}^2=-\frac{2}{3}{\log }_2(3-\sqrt{x})}$式Ａ'
である。
なるほど。底の変換がしたかったのね。
で、
$X={\log }_2(3-\sqrt{x})$式Ｂ
とおくと、式Ａ'は、
${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x}{)}^2=-\frac{2}{3}X}$式Ａ''

式Ａ''・Ｂを①に代入して、
$4X^2+3\cdot (-\frac{2}{3}X)-2>0$
$4X^2-2X-2>0$
$2X^2-X-1>0$③

解答エ：２

121
二次不等式の解法(1)

これを解いて、
$(2X+1)(x-1)>0$
より、
$X<-{\displaystyle \frac{1}{2},1<X}$

解答オ：２, カ：１

これに式Ｂを代入して、
${\displaystyle {\log }_2(3-\sqrt{x})<-\frac{1}{2},1<{\log }_2(3-\sqrt{x})}$式Ｃ

258
対数不等式

式Ｃの左の式は、
右辺に$1$（$={\log }_{2}2$）をかけて、
${\displaystyle {\log }_2(3-\sqrt{x})<-\frac{1}{2}{\log }_{2}2}$
${\log }_2(3-\sqrt{x})<{\log }_2{2}^{-\frac{1}{2}}$
底は$1$より大きいので、
$3-\sqrt{x}<2^{-\frac{1}{2}}$
$3-{\displaystyle \sqrt{x}}$${\displaystyle <\frac{1}{\sqrt{2}}}$
$3-{\displaystyle \sqrt{x}}$${\displaystyle <\frac{\sqrt{2}}{2}}$

解答キ：２, ク：２

式Ｃの右の式は、
$1={\log }_{2}2$なので、
${\log }_{2}2<{\log }_2(3-\sqrt{x})$
底は$1$より大きいので、
$2<3-\sqrt{x}$

解答ケ：２

より、
$3-{\displaystyle \sqrt{x}<\frac{\sqrt{2}}{2},2<3-\sqrt{x}}$④
となる。

④はさらに
$3-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}<\sqrt{x},\sqrt{x}<1}$
すべての辺は正なので、２乗して、
${(3-\frac{\sqrt{2}}{2})}^2<x.x<1$
${\displaystyle \frac{19}{2}-3\sqrt{2}<x,x<1}$④'

②,④'から数直線を描くと、

となるので、求める$x$の範囲は
$0{\displaystyle \leqq x<1,\frac{19}{2}-3\sqrt{2}<x<9}$
である。

解答コ：１, サ：１, シ：９, ス：２, セ：３