$\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$
より、
$2\cdot 6\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}=9$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}=\frac{9}{2\cdot 6}=\frac{3}{4}}$

解答ア：３, イ：４

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$より、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{AOB}+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=1$
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{AOB}=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{AOB}}$${\displaystyle =\frac{4^2-3^2}{4^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{AOB}}$${\displaystyle =\frac{7}{4^2}}$

$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}$なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{7}}{4}}$

解答ウ：７, エ：４

これを三角形の面積の公式$S={\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin \theta }$に代入して、
△OAB$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}$
△OAB${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{7}}{2}}$

解答オ：３, カ：７, キ：２

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \left|\overrightarrow{c}\right|\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BOC}$
なので、
${\displaystyle \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=6\cdot 2x\cdot \frac{3}{4}}$
$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$$=9x$

解答ク：９

$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{c}\cdot (s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$
$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}$$=s\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+t\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}-{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2$

これに
問題文より
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=4$
$\left|\overrightarrow{c}\right|=2x$ クより
$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=9x$ を代入して、
$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}=s\cdot 4+t\cdot 9x-(2x{)}^2$
$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}$$=4s+9tx-4x^2$
となる。

解答ケ：４, コ：９, サ：４

この問題は図を描いてもあまり助けにならないけれど、イメージのために載せておく。

復習

$\alpha$上の２つのベクトルを$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$とする。
（$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{a}\nparallel \overrightarrow{b}$）
このとき、
$\overrightarrow{h}$が平面$\alpha$に垂直 $\iff \overrightarrow{h}$⊥$\overrightarrow{a}$ かつ $\overrightarrow{h}$⊥$\overrightarrow{b}$
だった。

よって、
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}=0$
$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n}=0$

解答シ：０, ス：０

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}=4s+9t-4$
$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n}=9(s+4t-x)$
なので、シスより
$\{\begin{array}{l}4s+9t-4=0\\ 9(s+4t-x)=0\end{array}$
この連立方程式を解く。

下の式より、
$s+4t-x=0$
$s=x-4t$式Ａ
上の式に代入して、
$4(x-4t)+9t-4=0$
$4x-16t+9t-4=0$
$7t=4(x-1)$
$t={\displaystyle \frac{4}{7}(x-1)}$式Ｂ
これを式Ａに代入して、
$s=x-4{\displaystyle \cdot \frac{4}{7}(x-1)}$
$s{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{7}(9x-16)}$式Ｃ

解答セ：７, ソ：９, タ：１, チ：６, ツ：４

${\left|\overrightarrow{n}\right|}^2=(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{n}$
${\left|\overrightarrow{n}\right|}^2$$=s\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}+t\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n}-\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}$
シスより、$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}=0$、$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{n}=0$、
ケコサより、$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}=4s+9tx-4x^2$なので、
${\left|\overrightarrow{n}\right|}^2=-(4s+9tx-4x^2)$
これに式Ｂ・Ｃを代入して、
${\left|\overrightarrow{n}\right|}^2=-[4\{-\frac{1}{7}(9x-16)\}+9\{\frac{4}{7}(x-1)\}x-4x^2]$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =4\{\frac{1}{7}(9x-16)\}-9\{\frac{4}{7}(x-1)\}x+\frac{7\cdot 4}{7}{x}^2}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{4}{7}\{(9x-16)-9(x-1)x+7x^2\}}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{4}{7}(9x-16-9x^2+9x+7x^2)}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =\frac{4}{7}(-2x^2+18x-16)}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =-\frac{8}{7}(x^2-9x+8)}$

解答テ：８, ト：９, ナ：８

これを平方完成して、
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2=-\frac{8}{7}\{x^2-2\cdot \frac{9}{2}x+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2-{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+8\}}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =-\frac{8}{7}\{{(x-\frac{9}{2})}^2-\frac{81}{4}+\frac{32}{4}\}}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =-\frac{8}{7}\{{(x-\frac{9}{2})}^2-\frac{49}{4}\}}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =-\frac{8}{7}{(x-\frac{9}{2})}^2+\frac{8}{7}\cdot \frac{49}{4}}$
${\displaystyle {\left|\overrightarrow{n}\right|}^2}$${\displaystyle =-\frac{8}{7}{(x-\frac{9}{2})}^2+14}$
となる。

解答ニ：９, ヌ：２, ネ：１, ノ：４