図の固定

まず、直線$\ell$と直線$m$の式を求めよう。
放物線$C$の方程式を微分して、
$y'=2x$
なので、点$\mathrm{P}(a,a^{2})$における接線の傾きは
$2a$
よって、直線$\ell$の式は、
$y-a^{2}=2a(x-a)$
$y=2ax-a^{2}$式Ａ

同様に、直線$m$の式は、
$y=2bx-b^{2}$式Ｂ

直線$\ell$と直線$m$は直交するので、傾き同士をかけて$-1$なので、
$2a\times 2b=-1$
$4ab=-1$

解答ア：４

より、
$b=-\displaystyle \frac{1}{4a}$
これを式Ｂに代入して、
$y=-\displaystyle \frac{1}{2a}x-\frac{1}{16a^{2}}$式Ｂ'

$\ell$と$m$の交点$\mathrm{R}$の座標は、式Ａと式Ｂ'の連立方程式を解けばよい。
$2ax-a^{2}=-\displaystyle \frac{1}{2a}x-\frac{1}{16a^{2}}$
両辺に$16a^{2}$をかけて、
$32a^{3}x-16a^{4}=-8ax-1$式Ｃ
$32a^{3}x+8ax=16a^{4}-1$
$8a(4a^{2}+1)x=(4a^{2}-1)(4a^{2}+1)$
$4a^{2}+1\neq 0$なので、
$8ax=4a^{2}-1$
より、
$x=\displaystyle \frac{4a^{2}-1}{8a}$

問題文のマスに合う形に変形して、
$x=\displaystyle $$\displaystyle \frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{4a}\right)$

解答イ：２, ウ：１, エ：４

これを式Ａに代入して、
$y=2a\displaystyle \cdot\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{4a}\right)-a^{2}$
$y\displaystyle $$\displaystyle =a^{2}-\frac{1}{4}-a^{2}$
$y\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{4}$

解答オ：１, カ：４

点Tの座標を$(x,y)$とおくと、
$\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{4a}\right)\\
y=a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}+\frac{1}{4}
\end{array}\right.$
$a$を媒介変数として、この式から$x$と$y$の関係式をつくる。
簡単に言うと、$a$を消したい。

でも、どちらかの式を$a=$の形に変形するのは大変だから、上の式と下の式で同じ形を作って代入したい。

上の式は
$a-\displaystyle \frac{1}{4a}=2x$
とかける。下の式は２乗っぽいので、両辺２乗してみよう。
$\left(a-\frac{1}{4a}\right)^{2}=4x^{2}$式F
$a^{2}-\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{16a^{2}}=4x^{2}$式F'
$a^{2}+\displaystyle \frac{1}{16a^{2}}=4x^{2}+\frac{1}{2}$
できた。

これを下の式に代入して、求める軌跡は
$y=4x^{2}+\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
$y\displaystyle $$\displaystyle =4x^{2}+\frac{3}{4}$
である。

解答ス：４, セ：３, ソ：４

図の固定

点Tと点Rの$x$座標は等しいので、線分TRは$y$軸に平行。
よって、TRを底辺としたときの△PTRの高さを$h_{1}$とすると、
△PTR$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_{1}$

また、TRを底辺としたときの△QTRの高さを$h_{2}$とすると、
△QTR$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_{2}$
$S_{1}=$△PTR+△QTRなので、
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_{2}$
$S_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}(h_{1}+h_{2})$式G

$h_{1}+h_{2}$は、点Pの$x$座標から点Qの$x$座標を引いたものに等しいので、
$h_{1}+h_{2}=a+\displaystyle \frac{1}{4a}$式H

TRは、点Tの$y$座標から点Rの$y$座標を引いて、
$\displaystyle \mathrm{TR}=a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$\displaystyle \mathrm{TR}$$\displaystyle =a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}+\frac{1}{2}$

先に式F→式F'と変形したのに似ている。似たようなことをすると、
$\mathrm{TR}$$=\left(a+\frac{1}{4a}\right)^{2}$式Ｉ

式Ｇに式Ｈ・Ｉを代入して、
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{4a}\right)^{2}\left(a+\frac{1}{4a}\right)$
$S_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{4a}\right)^{3}$
となる。

解答タ：２, チ：４, ツ：３

次に、放物線$C$と線分PQで囲まれた面積（図Ｂの黄色い部分）を求める。
直線PQの式を$ y=\alpha x+\beta$とすると、黄色い部分の面積は、
$\displaystyle \int_{-\frac{1}{4a}}^{a}\{(\alpha x+\beta)-x^{2}\}dx$
$=-\displaystyle \int_{-\frac{1}{4a}}^{a}(x^{2}-\alpha x-\beta)dx$式Ｊ
この計算には$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える。

よって、式Ｊは、
$=-\left\{-\frac{1}{6}\left(a+\frac{1}{4a}\right)^{3}\right\}$
$=\displaystyle \frac{1}{6}\left(a+\frac{1}{4a}\right)^{3}$
となる。

解答テ：６, ト：４, ナ：３

一旦整理しよう。
$\left(a+\frac{1}{4a}\right)^{3}=A$とおくと、
$S_{1}$（図Ｂの緑の斜線の部分）は、$\displaystyle \frac{1}{2}A$ △PQR$=\displaystyle \frac{1}{2}S_{1}=\frac{1}{4}A$ 図Ｂの黄色い部分は、$\displaystyle \frac{1}{6}A$ 以上より、
$S_{2}=$△PQR-黄色い部分
$S_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}A-\frac{1}{6}A=\frac{1}{12}A$
よって、
$S_{2}:S_{1}=\displaystyle \frac{1}{12}A:\frac{1}{2}A$
$S_{2}:S_{1}$$=1:6$
$6S_{2}=S_{1}$
$S_{2}=\displaystyle \frac{1}{6}S_{1}$
である。

解答ニ：１, ヌ：６

ここで、$0 \lt a$より、$0 \lt \displaystyle \frac{1}{4a}$なので、$a+\displaystyle \frac{1}{4a}$には相加平均と相乗平均の関係が使える。

よって、
$a+\displaystyle \frac{1}{4a}\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4a}}$
$a+\displaystyle \frac{1}{4a}$$\displaystyle \geqq 1$
より、
$a+\displaystyle \frac{1}{4a}$の最小値は$1$式Ｋ

等号成立は、
$a=\displaystyle \frac{1}{4a}$
両辺を$a$倍して、
$a^{2}=\displaystyle \frac{1}{4}$
$0 \lt a$なので、
$a=\displaystyle \frac{1}{2}$
のとき。

解答ネ：２

$S_{2}=\displaystyle \frac{1}{12}\left(a+\frac{1}{4a}\right)^{3}$なので、式Ｋより、
$S_{2}$の最小値は$\displaystyle \frac{1}{12}$である。

解答ノ：１, ハ：２