図の固定

まず、直線$\ell$と直線$m$の式を求めよう。
放物線$C$の方程式を微分して、
$y^{\prime }=2x$
なので、点$\mathrm{P}(a,a^2)$における接線の傾きは
$2a$
よって、直線$\ell$の式は、
$y-a^2=2a(x-a)$
$y=2ax-a^2$式Ａ

同様に、直線$m$の式は、
$y=2bx-b^2$式Ｂ

直線$\ell$と直線$m$は直交するので、傾き同士をかけて$-1$なので、
$2a\times 2b=-1$
$4ab=-1$

解答ア：４

より、
$b=-{\displaystyle \frac{1}{4a}}$
これを式Ｂに代入して、
$y=-{\displaystyle \frac{1}{2a}x-\frac{1}{16a^2}}$式Ｂ'

$\ell$と$m$の交点$\mathrm{R}$の座標は、式Ａと式Ｂ'の連立方程式を解けばよい。
$2ax-a^2=-{\displaystyle \frac{1}{2a}x-\frac{1}{16a^2}}$
両辺に$16a^2$をかけて、
$32a^{3}x-16a^4=-8ax-1$式Ｃ
$32a^{3}x+8ax=16a^4-1$
$8a(4a^2+1)x=(4a^2-1)(4a^2+1)$
$4a^2+1\ne 0$なので、
$8ax=4a^2-1$
より、
$x={\displaystyle \frac{4a^2-1}{8a}}$

問題文のマスに合う形に変形して、
$x={\displaystyle }$${\displaystyle \frac{1}{2}(a-\frac{1}{4a})}$

解答イ：２, ウ：１, エ：４

これを式Ａに代入して、
$y=2a{\displaystyle \cdot \frac{1}{2}(a-\frac{1}{4a})-a^2}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =a^2-\frac{1}{4}-a^2}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$

解答オ：１, カ：４

点Tの座標を$(x,y)$とおくと、
$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}(a-\frac{1}{4a})\\ y=a^2+\frac{1}{16a^2}+\frac{1}{4}\end{array}$
$a$を媒介変数として、この式から$x$と$y$の関係式をつくる。
簡単に言うと、$a$を消したい。

でも、どちらかの式を$a=$の形に変形するのは大変だから、上の式と下の式で同じ形を作って代入したい。

上の式は
$a-{\displaystyle \frac{1}{4a}=2x}$
とかける。下の式は２乗っぽいので、両辺２乗してみよう。
${(a-\frac{1}{4a})}^2=4x^2$式F
$a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{16a^2}=4x^2}$式F'
$a^2+{\displaystyle \frac{1}{16a^2}=4x^2+\frac{1}{2}}$
できた。

これを下の式に代入して、求める軌跡は
$y=4x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =4x^2+\frac{3}{4}}$
である。

解答ス：４, セ：３, ソ：４

図の固定

点Tと点Rの$x$座標は等しいので、線分TRは$y$軸に平行。
よって、TRを底辺としたときの△PTRの高さを$h_1$とすると、
△PTR$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_1}$

また、TRを底辺としたときの△QTRの高さを$h_2$とすると、
△QTR$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_2}$
$S_1=$△PTR+△QTRなので、
$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}\cdot h_2}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \mathrm{TR}(h_1+h_2)}$式G

$h_1+h_2$は、点Pの$x$座標から点Qの$x$座標を引いたものに等しいので、
$h_1+h_2=a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$式H

TRは、点Tの$y$座標から点Rの$y$座標を引いて、
${\displaystyle \mathrm{TR}=a^2+\frac{1}{16a^2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$
${\displaystyle \mathrm{TR}}$${\displaystyle =a^2+\frac{1}{16a^2}+\frac{1}{2}}$

先に式F→式F'と変形したのに似ている。似たようなことをすると、
$\mathrm{TR}$$={(a+\frac{1}{4a})}^2$式Ｉ

式Ｇに式Ｈ・Ｉを代入して、
$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}{(a+\frac{1}{4a})}^2(a+\frac{1}{4a})}$
$S_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{(a+\frac{1}{4a})}^3}$
となる。

解答タ：２, チ：４, ツ：３

次に、放物線$C$と線分PQで囲まれた面積（図Ｂの黄色い部分）を求める。
直線PQの式を$y=\alpha x+\beta$とすると、黄色い部分の面積は、
${\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{4a}}^a\{(\alpha x+\beta )-x^2\}dx}$
$=-{\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{4a}}^a(x^2-\alpha x-\beta )dx}$式Ｊ
この計算には${\displaystyle \frac{1}{6}}$公式が使える。

よって、式Ｊは、
$=-\{-\frac{1}{6}{(a+\frac{1}{4a})}^3\}$
$={\displaystyle \frac{1}{6}{(a+\frac{1}{4a})}^3}$
となる。

解答テ：６, ト：４, ナ：３

一旦整理しよう。
${(a+\frac{1}{4a})}^3=A$とおくと、
$S_1$（図Ｂの緑の斜線の部分）は、${\displaystyle \frac{1}{2}A}$ △PQR$={\displaystyle \frac{1}{2}{S}_1=\frac{1}{4}A}$ 図Ｂの黄色い部分は、${\displaystyle \frac{1}{6}A}$ 以上より、
$S_2=$△PQR-黄色い部分
$S_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}A-\frac{1}{6}A=\frac{1}{12}A}$
よって、
$S_2:S_1={\displaystyle \frac{1}{12}A:\frac{1}{2}A}$
$S_2:S_1$$=1:6$
$6S_2=S_1$
$S_2={\displaystyle \frac{1}{6}{S}_1}$
である。

解答ニ：１, ヌ：６

ここで、$0<a$より、$0<{\displaystyle \frac{1}{4a}}$なので、$a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$には相加平均と相乗平均の関係が使える。

よって、
$a+{\displaystyle \frac{1}{4a}\geqq 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{4a}}}$
$a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$${\displaystyle \geqq 1}$
より、
$a+{\displaystyle \frac{1}{4a}}$の最小値は$1$式Ｋ

等号成立は、
$a={\displaystyle \frac{1}{4a}}$
両辺を$a$倍して、
$a^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$
$0<a$なので、
$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$
のとき。

解答ネ：２

$S_2={\displaystyle \frac{1}{12}{(a+\frac{1}{4a})}^3}$なので、式Ｋより、
$S_2$の最小値は${\displaystyle \frac{1}{12}}$である。

解答ノ：１, ハ：２