大学入試センター試験 2013年(平成25年) 追試数学ⅡＢ第１問 [2] 解説

(1)

②を平方完成して、
$(x^{2} - 2 a x + a^{2} - a^{2}) + (y^{2} - 4 y + 4 - 4) + a^{2} ≦ 0$
$(x - a)^{2} + (y^{2} - 2)^{2} - 4 ≦ 0$
$(x - a)^{2} + (y^{2} - 2)^{2} ≦ 4$

解答ス：ａ, セ：２, ソ：４

となるので、②は、
中心 $(a, 2)$
半径 $2$
の円周上および内部である。

解答タ：２

この円を円Ａとよぶ。
以上から、領域 $A, B, C$ をグラフにすると、図Ａのようになる。赤い斜線部分が領域 $A$ 、緑の斜線部分が領域 $B$ 、赤と緑が重なった部分が領域 $C$ である。

図の固定

(2)

図の固定

直線 $2 x + y = 24$ と円が接する場合は、図Ｂの円のうち、右２つの場合。
中心の $x$ 座標をそれぞれ $d, e$ とすると、 $d$ のとき、領域 $C =$ 領域 $A$ 。 $e$ のとき、領域 $C$ は円Ａと直線の接点のみ。なので、１。

解答チ：１

(3)

領域 $A$ と領域 $B$ が共通部分を持つのは、円Ａが、図Ｂの赤い円と重なるか、間にあるとき。
なので、
$b ≦ a ≦ e$
である。

$b$ は円Ａが $y$ 軸に接するとき。円Ａの半径は $2$ なので、
$b = - 2$

解答ツ：－, テ：２

$e$ は円Ａと直線 $2 x + y = 24$ が接するとき。
$e$ の求め方は２つ考えられて、解法１
円Ａの方程式と直線の方程式で連立方程式をつくり、判別式に持ち込む。解法２
円の中心 $(a, 2)$ と直線の距離が $2$ になる $a$ を求める。おすすめ

解法１

円Ａと直線の連立方程式をつくると、
${\begin{cases} (x - a)^{2} + (y - 2)^{2} = 4 \\ 2 x + y = 24 \end{cases}$
下の式を
$y = 24 - 2 x$
と変形して、上の式に代入する。
$(x - a)^{2} + (24 - 2 x - 2)^{2} = 4$
$(x - a)^{2} + (22 - 2 x)^{2} - 4 = 0$
$(x - a)^{2} + 4 {(11 - x)^{2} - 1} = 0$
$x^{2} - 2 a x + a^{2} + 4 (11 - x - 1) (11 - x + 1) = 0$
$x^{2} - 2 a x + a^{2} + 4 (10 - x) (12 - x) = 0$
$x^{2} - 2 a x + a^{2} + 4 (120 - 22 x + x^{2}) = 0$
$x^{2} - 2 a x + a^{2} + 480 - 88 x + 4 x^{2} = 0$
$5 x^{2} - 2 (a + 44) x + a^{2} + 480 = 0$
判別式をとると、
$D = {- 2 (a + 44)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (a^{2} + 480)$
ふたつの図形が接するから、判別式=0なので、
${- 2 (a + 44)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (a^{2} + 480) = 0$
$(a + 44)^{2} - 5 \cdot (a^{2} + 480) = 0$
$a^{2} + 88 a + 44^{2} - 5 a^{2} - 5 \cdot 480 = 0$
$- 4 a^{2} + 88 a + 44^{2} - 5 \cdot 480 = 0$
両辺 $- 4$ で割って、
$a^{2} - 22 a - 11 \cdot 44 + 5 \cdot 120 = 0$
$a^{2} - 22 a - 4 (11^{2} - 5 \cdot 30) = 0$
$a^{2} - 22 a + 4 \cdot 29 = 0$
解の公式を使って、、
$a = \frac{22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 29}}{2}$
$a$ $= \frac{22 \pm 2 \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 29}}{2}$
$a$ $= 11 \pm \sqrt{5}$
となる。
これが $d, e$ なので、 $e$ は大きい方の
$11 + \sqrt{5}$
である。

解答ト：１, ナ：１, ニ：５

解法２

復習

点と直線の距離の公式
直線 $a x + b y + c = 0$
と
点 $(α, β)$
の距離 $d$ は、
$d = \frac{| a α + b β + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
だった。

これを使って解く。

直線の式は、 $2 x + y = 24$ より、 $2 x + y - 24 = 0$
円の中心の座標は、 $(a, 2)$
点と直線の距離半径 $= 2$ になればよいので、
$\frac{| 2 a + 2 - 24 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = 2$
$| 2 a - 22 | = 2 \sqrt{5}$
両辺 $2$ で割って、
$| a - 11 | = \sqrt{5}$
$a - 11 = \pm \sqrt{5}$
$a = 11 \pm \sqrt{5}$
となる。
これが $d, e$ なので、 $e$ は大きい方の
$11 + \sqrt{5}$
である。

解答ト：１, ナ：１, ニ：５

共通部分が領域Ａと一致するのは、円Ａが、図Ｂの青い円と重なるか、間にあるとき。
なので、
$c ≦ a ≦ d$
である。

$c$ は円Ａが $y$ 軸に接するとき。円Ａの半径は $2$ なので、
$c = 2$

解答ヌ：２

$d$ はこれまでの計算から $11 - \sqrt{5}$ だけど、これは問題文中に書いてある。

最後は、領域 $C$ の面積が領域 $A$ の面積の半分になるとき。

これは、図Ｃのように２つの場合が考えられる。

図の固定

左の円の場合、円の中心が $y$ 軸乗にあるので、中心の $x$ 座標は $0$ 。

解答ネ：０

右の円の場合、円の中心が直線 $2 x + y = 24$ 上にあるので、円Ａの中心の座標 $(a, 2)$ を直線の式に代入して、
$2 a + 2 = 24$
$a = 11$
である。

解答ノ：１ ,ハ：１

別解

右の円は、図Ｂの右２つの円のちょうど真ん中にあるので、中心の $x$ 座標は
$\frac{(11 + \sqrt{5}) + (11 - \sqrt{5})}{2} = 11$
である。

解答ノ：１ ,ハ：１

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