Cの角の三角比は、３辺の長さが分かっているから、余弦定理より、
${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2-2\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$
$(2\sqrt{3}{)}^2={\sqrt{6}}^2+3^2-2\sqrt{6}\cdot 3\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=\frac{{\sqrt{6}}^2+3^2-(2\sqrt{3}{)}^2}{2\sqrt{6}\cdot 3}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{12}}$

解答ア：６, イ：１, ウ：２

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$より、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+{\left(\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}^2=1$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}$${\displaystyle =\frac{{12}^2-6}{{12}^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}$${\displaystyle =\frac{6\cdot 23}{{12}^2}}$

$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$より、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=\frac{\sqrt{138}}{12}}$

解答エ：１, オ：３, カ：８, キ：１, ク：２

この流れで外接円の半径なので、円Oの半径を$R$とすると、正弦定理より、
$2R={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}}$
$2R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{138}}{12}}}$
$R={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{138}}{12}}}$
$R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{138}}}$
$R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{12}{\sqrt{46}}}$
分母を有理化して、
$R={\displaystyle \frac{6\sqrt{46}}{23}}$

解答ケ：６, コ：４, サ：６, シ：２, ス：３

XY∥BCより、平行線の錯角は等しいので、
∠XAB=∠ABC

解答セ：１

接弦定理より、
∠XBA=∠ACB

解答ソ：２

２角が等しいから、△XAB∽△ABCなので、
∠AXB=∠BAC

解答タ：０

△XAB∽△ABCより、
$\mathrm{AX}:\mathrm{AB}=\mathrm{AB}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AX}:2\sqrt{3}=2\sqrt{3}:\sqrt{6}$
$\sqrt{6}\mathrm{AX}=12$式Ａ
$\mathrm{AX}=2\sqrt{6}$式Ａ'
となる。

解答チ：２, ツ：６

同様に、△YCA∽△ABCなので、
$\mathrm{AY}:\mathrm{CA}=\mathrm{CA}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AY}:3=3:\sqrt{6}$
$\sqrt{6}\mathrm{AY}=9$式Ｂ
${\displaystyle \mathrm{AY}=\frac{9}{\sqrt{6}}}$
${\displaystyle \mathrm{AY}}$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{6}}{2}}$式Ｂ'

解答テ：３, ト：６, ナ：２

また、XY∥BCなので、
△PDC∽△PAY
△PBD∽△PXA
で、この２組の相似な三角形の相似比は等しい。
よって、
${\displaystyle \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AY}}{\mathrm{XA}}}$式Ｃ
${\displaystyle \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{6}\mathrm{AY}}{\sqrt{6}\mathrm{AX}}}$式Ｃ'

式Ａ・Ｂより、
${\displaystyle \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}}$${\displaystyle =\frac{9}{12}}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}}$

解答ニ：３, ヌ：４

アドバイス

式Ｃに式Ａ'・Ｂ'を代入するより、式Ｃ'のように変形して式Ａ・Ｂを代入した方が計算が楽。
機械的に最後まで変形した値を代入するのではなく、途中式も含めて計算しやすい形を使おう。

よって、BD:DC=4:3なので、
${\displaystyle \mathrm{DC}=\frac{3}{7}\mathrm{BC}}$
${\displaystyle \mathrm{DC}}$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{6}}{7}}$

解答ネ：３, ノ：６, ハ：７

△ACDで、余弦定理より、
${\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{DC}}^2-2\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{DC}\cdot \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$
${\displaystyle {\mathrm{AD}}^2}$${\displaystyle =3^2+{\left(\frac{3\sqrt{6}}{7}\right)}^2-2\cdot 3\cdot \frac{3\sqrt{6}}{7}\cdot \frac{\sqrt{6}}{12}}$
${\displaystyle {\mathrm{AD}}^2}$${\displaystyle =3^2+\frac{3^2\cdot 6}{7^2}-\frac{3\cdot 3}{7}}$
${\mathrm{AD}}^2$$={\left(\frac{3}{7}\right)}^2(7^2+6-7)$
${\mathrm{AD}}^2$$={\left(\frac{3}{7}\right)}^2\cdot 48$
$0<\mathrm{AD}$なので、
${\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{48}}{7}}$
${\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{48}}{7}}$
${\displaystyle \mathrm{AD}}$${\displaystyle =\frac{12\sqrt{3}}{7}}$
である。

解答ヒ：１, フ：２, ヘ：３, ホ：７