ここで$\sin (2\theta +\alpha )$を単位円の形でグラフに描くと、図Ａのようになる。図中、円周の緑色の部分が定義域、赤い点が最大値、青い点が最小値を表している。

図Ａより、
$\sin (2\theta +\alpha )$は、 $2{\displaystyle \theta +\alpha =\frac{\pi }{2}}$のとき、最大値$1$ $2{\displaystyle \theta +\alpha =\frac{3}{2}\pi }$のとき、最小値$-1$ だから、
$-1\leqq \sin (2\theta +\alpha )\leqq 1$式Ｂ
これを使って式Ａ''を作る。
各辺を${\displaystyle \frac{5}{2}}$倍して、
$-{\displaystyle \frac{5}{2}\leqq \frac{5}{2}\sin (2\theta +\alpha )\leqq \frac{5}{2}}$
各辺に${\displaystyle \frac{1}{2}}$をたして、
$-2{\displaystyle \leqq \frac{1}{2}+\frac{5}{2}\sin (2\theta +\alpha )\leqq 3}$
式Ａ''より、${\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{2}\sin (2\theta +\alpha )=z}$なので、
$-2\leqq z\leqq 3$式Ｂ'
である。

よって、
最大値は$3$
そのときの角度は、式Ｂ'から右辺を逆にたどっていって、式Ｂの右辺のとき。なので、
$2{\displaystyle \theta +\alpha =\frac{\pi }{2}}$式Ｃ
のとき。

解答オ：２, カ：３

式Ｃのとき、
$2{\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}-\alpha }$
より、
$\cos 2\theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$
$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$なので、
$\cos 2\theta =\sin \alpha$式Ｃ'

解答キ：２

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{3}{5}}$と２倍角の公式より、式Ｃ'はさらに
$2{\displaystyle {\cos }^2\theta -1=\frac{3}{5}}$
${\displaystyle {\cos }^2\theta =\frac{4}{5}}$

$0<\cos \theta$なので、
${\displaystyle \cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}}$
${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle =\frac{2\sqrt{5}}{5}}$

解答ク：２, ケ：５, コ：５

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$なので、
${\displaystyle {\sin }^2\theta +\frac{4}{5}=1}$
${\displaystyle {\sin }^2\theta =\frac{1}{5}}$
$0<\sin \theta$なので、
${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}}$
${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}}{5}}$
である。

解答サ：５, シ：５