復習

$y=a{c}^2+bx+c$の軸は、
$x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$
だった。

よって、①の軸は
$x={\displaystyle \frac{2b}{2}=b}$。
まぁ、問題文のアの前に書いてあるけど。
で、これを①に代入して、
$y=b^2-2b{\displaystyle \cdot b-\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =-b^2-\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$

解答ア：－, イ：４, ウ：３, エ：５, オ：９

別解

①を平方完成して、
$y=x^2-2bx-{\displaystyle \frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =(x^2-2bx+b^2-b^2)-\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$
$y{\displaystyle }$${\displaystyle =(x-b{)}^2-b^2-\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$

解答ア：－, イ：４, ウ：３, エ：５, オ：９

ここで、グラフの移動の復習をしておこう。

復習

平行移動 $x$方向に$p$
$x\to (a-p)$ $y$方向に$q$
$y\to (y-q)$ 対称移動
$x$軸に関して対称
$y\to -y$ $y$軸に関して対称
$x\to -x$ 原点に関して対称
$x\to -x,y\to -y$ だった。

より、$y=a{x}^2-2x+c$を原点に関して対称移動すると、
$-y=a(-x{)}^2-2(-x)+c$
$y=-a{x}^2-2x-c$
これと①が等しくなるので、
$\{\begin{array}{l}-a=1\\ -2=-2b\\ -c=-\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}\end{array}$
となる。

この連立方程式を解いて、
$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\\ c=\frac{7}{9}\end{array}$
である。

解答カ：－, キ：１, ク：１, ケ：７, コ：９

$b=1$のとき、アイウエオより、①の頂点は
$(1,-\frac{16}{9})$式Ａ

関数$y=x(x+4)$のグラフは、$x$軸と$0.-4$で交わるので、
頂点の$x$座標は
$x=-2$
これを関数の式に代入すると、
$y=-2(-2+4)$
$y$$=-4$
となるので、頂点の座標は
$(-2,-4)$

この頂点を$x$軸方向に$s$、$y$軸方向に$t$平行移動すると、式Ａになるから、
$(-2+s,-4+t)=(1,-\frac{2}{9})$
$(s,t)=(1+2,-\frac{16}{9}+4)$
$(s,t)$$=(3,\frac{20}{9})$
である。

解答サ：３, シ：２, ス：０, セ：９

次は、$0\leqq x\leqq 1$における最小値の問題。グラフの軸は$x=b$なので、頂点が動くタイプの二次関数の最大最小の問題である。
まず、場合分け。
下に凸のグラフの最小を聞かれているので、図Ａ・Ｂ・Ｃの３通りに場合分けをしよう。

図Ａのときは、軸$b$は定義域の左端$0$より左にあるから、$b$の範囲で表すと$b<0$のとき。
これは問題文の場合分けのひとつ目に当たり、最小値$m$は問題中にある通り
$m=-{\displaystyle \frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$

図Ｂのときは、$0\leqq b\leqq 1$のとき。
これは問題文の場合分けのふたつ目で、
$m=-b^2-{\displaystyle \frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$

図Ｃのときは、$1<b$のとき。
これは問題文の場合分けのみっつ目で、最小値$m$は$x=1$のとき。
よって、①に$x=1$を代入して、
$m=1-2b-{\displaystyle \frac{4}{3}b+\frac{5}{9}}$
$m{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{10}{3}b+\frac{14}{9}}$
である。

解答ソ：１, タ：０, チ：３, ツ：１, テ：４, ト：９

以上をまとめると、
$m=\{\begin{array}{ll}-\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}& (b<0)\\ -b^2-\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}& (0\leqq b\leqq 1)\\ -\frac{10}{3}b+\frac{14}{9}& (1<b)\end{array}$
である。
この式を使って、$m<0$となる$b$の範囲を求める。

$b<0$のとき、
$-{\displaystyle \frac{4}{3}b+\frac{5}{9}<0}$式Ｂ
両辺$9$倍して、
$-12b+5<0$
$5<12b$
${\displaystyle \frac{5}{12}<b}$式Ｂ'
数直線を描くと図Ｄとなるので、解なし。

$0\leqq b\leqq 1$のとき、
$-b^2-{\displaystyle \frac{4}{3}b+\frac{5}{9}<0}$式Ｃ
両辺$-9$倍して、
$9b^2+12b-5>0$
$(3b+5)(3b-1)>0$
$b<-{\displaystyle \frac{3}{5},\frac{1}{3}<b}$式Ｃ'
数直線を描くと図Ｅとなるので、${\displaystyle \frac{1}{3}<b\leqq 1}$

$1<b$のとき、
$-{\displaystyle \frac{10}{3}b+\frac{14}{9}<0}$式Ｄ
両辺$9$倍して、
$-30b+14<0$
$14<30b$
${\displaystyle \frac{7}{15}<b}$式Ｄ'
数直線を描くと図Ｆとなるので、$1<b$

以上をあわせて、
${\displaystyle \frac{1}{3}<b}$となるので、
$b>{\displaystyle \frac{1}{3}}$
である。

解答ナ：０, ニ：１, ヌ：３

最後は、グラフと$x$軸が指定された範囲で共有点を持つ問題。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。

復習

ポイントは、条件に合うグラフを描いて、
$x$軸との共有点の個数を考える条件Ａ
境目（この場合は$x=0$と$x=1$）のときの$y$座標に注目する。条件Ｂ
グラフの軸が境目よりも右にあるか左にあるかを見る。条件Ｃ
だった。

条件に合うグラフをいくつか描くと、図Ｇのようになる。

条件Ａについて、$x$軸と異なる２点で交わる。
$0<D$としてもいいのだけれど、頂点の$y$座標が分かっているから、それを使おう。
$-b^2-{\displaystyle \frac{4}{3}b+\frac{5}{9}<0}$
これは式Ｃと同じ不等式なので、答えも式Ｃ'と同じ
$b<-{\displaystyle \frac{3}{5},\frac{1}{3}<b}$式Ｅ
である。

条件Ｂについて、$x=0$のときも$x=1$のときも、放物線の$y$座標は$0$以上でないといけない。
なので、①に$0,1$を代入して、
$\{\begin{array}{l}0\leqq -\frac{4}{3}b+\frac{5}{9}\\ 0\leqq -\frac{10}{3}b+\frac{14}{9}\end{array}$
これは式Ｂ・Ｄの補集合なので、答えも式Ｂ'・Ｄ'の補集合の
$\{\begin{array}{l}b\leqq \frac{5}{12}\\ b\leqq \frac{7}{15}\end{array}$
より、この２つの範囲が重なる
$b{\displaystyle \leqq \frac{5}{12}}$式Ｆ
が、条件Ｂの範囲になる。

条件Ｃについて、軸は$0\leqq x\leqq 1$の範囲にないといけないので、
$0\leqq b\leqq 1$式Ｇ

式Ｅ～Ｇの重なる部分が答えだ。

数直線を描くと図Ｈになるので、求める$b$の範囲は
${\displaystyle \frac{1}{3}<b\leqq \frac{5}{12}}$
である。

解答ネ：１, ノ：３, ハ：１, ヒ：３, フ：５, ヘ：１, ホ：２