$x+1$を$A$とおくと、
$P-Q=a(A^3-x^3)+b(A^2-x^2)+c(A-x)$
$P-Q$$=a(A-x)(A^2+Ax+x^2)$
                  $+b(A-x)(A+x)+c(A-x)$
$A-x=(x+1)-x=1$なので、
$P-Q=a(A^2+Ax+x^2)+b(A+x)+c$
かなり楽になった。

あとは、$A$をもとにもどして展開しよう。
$P-Q=a\{(x+1{)}^2+(x+1)x+x^2\}$
                  $+b\{(x+1)+x\}+c$
$P-Q$$=a(3x^2+3x+1)+b(2x+1)+c$
$P-Q$$=3a{x}^2+(3a+2b)x+a+b+c$式Ａ

解答ア：３, イ：３, ウ：２

ここで、
$\{\begin{array}{l}3a=1\\ 3a+2b=0\\ a+b+c=0\end{array}$
となる$a,b,c$を求める。連立方程式を解いて、
上の式より、
$a={\displaystyle \frac{1}{3}}$
上の式を真ん中の式に代入して、
$1+2b=0$
$b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

解答エ：－, オ：１, カ：２

これを下の式に代入して、
${\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+c=0}$
$c={\displaystyle \frac{1}{6}}$

解答キ：１, ク：６

このとき、
$P-Q=x^2$式Ｂ
なので、
$P+Q=(P-Q)+2Q$
$P+Q$$=x^2+2(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}x)$
$P+Q{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{3}x}$式Ｃ

$P^2-Q^2=(P+Q)(P-Q)$に式Ｂ・Ｃを代入して、
$P^2-Q^2=(\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{3}x)\cdot x^2$
$P^2-Q^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2}{3}{x}^5+\frac{1}{3}{x}^3}$
となる。

解答ケ：２, コ：３, サ：１, シ：３