$\{a_n\}$は初項$3$・公差$2$の等差数列なので、等差数列の一般項の公式より、
$a_n=3+2\cdot (n-1)$
$a_n$$=2n+1$

解答ア：２, イ：１

ア$=2$、イ$=1$なので、${\displaystyle \sum _{k=1}^n{3}^{2k+1}}$を求める。
$3^{2k+1}=3^{2k}\times 3=9^k\times 3$から、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{3}^{2k+1}=3\sum _{k=1}^n{9}^k}$
となる。これを計算する。

Σの公式より、
$3{\displaystyle \sum _{k=1}^n{9}^k=3\times \frac{9(1-9^n)}{1-9}}$
$3{\displaystyle \sum _{k=1}^n{9}^k}$${\displaystyle =\frac{27(9^n-1)}{8}}$
である。

解答ウ：２, エ：７, オ：９, カ：８

新しく$b_n$と$c_n$が出てきた。
$\{\begin{array}{l}{a}_n=2n+1\\ b_n=-2\cos \left(\frac{a_n}{3}\pi \right)+2\\ c_n=b_n+n\end{array}$
なのだけれど、まず$b_n$の$\cos \left(\frac{a_n}{3}\pi \right)$の部分について考えよう。
$a_n$は初項$3$、公差$2$の等差数列なので、${\displaystyle \frac{a_n}{3}\pi }$は初項$\pi$、公差${\displaystyle \frac{2}{3}\pi }$の等差数列。
よって、$\cos \left(\frac{a_n}{3}\pi \right)$は$-1,{\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{2}}$の繰り返しになる。
ここまで分かったところで、それぞれの数列の最初の６項を求める。

解答キ：４, ク：１, ケ：４, コ：５, サ：４, シ：８

$b_{m-2}$だの$b_{m-1}$だのって言われても、文字で考えると混乱のもと。
$m=3,6,9,\cdots$ということだから、$m$に$3$でも代入して考えよう。
$b_{m-2}$は、$m$に$3$を代入した$b_1$がその例。$b_1=4$なので、

解答ス：４

$b_{m-1}$は、$m$に$3$を代入した$b_2$を考えると、$b_2=1$なので、

解答セ：１

$b_m$は$b_3=1$なので、

解答ソ：１

$c_{m-2},c_{m-1},c_m$も同様に$m$に$3$を代入して例を作ろう。
$c_{m-2}$の例は、$c_1=5$
$c_{m-1}$の例は、$c_2=3$
$c_m$の例は、$c_3=4$
以上より、
$c_2<c_3<c_1$なので、
$c_{m-1}<c_m<c_{m-2}$
と考えられる。

解答タ：１, チ：２, ツ：０

次は、$m$が３の倍数のとき、数列$\{c_n\}$の初項から$m$項までの和を求めよという。
問題文がヒントになっているので、その流れに乗って解こう。

問題は３項ずつ（ ）に入れているので、まねしてみよう。
そのとき、直前のタチツで$c_{m-1}<c_m<c_{m-2}$が分かっているので、$c_{m-1}+c_m+c_{m-2}$の順に書いてみる。
$c_2+c_3+c_1=3+4+5$
$c_5+c_6+c_4=6+7+8$
となるので、数列$\{c_n\}$は、項を小さい順に並べると
$3,4,5,6,7,8,\cdots$
であることが分かる。

このことから、$c_1$から$c_m$までの和は、 初項$3$ 公差$1$ 項数$m$ の等差数列の和と等しいことが分かる。

この等差数列の一般項は、
$3+(n-1)=n+2$

以上より、
${\displaystyle \sum _{k=1}^m{c}_k=\sum _{k=1}^m(k+2)}$式Ａ

解答テ：２

式Ａはさらに、
${\displaystyle \sum _{k=1}^m(k+2)=\sum _{k=1}^{m}k+\sum _{k=1}^{m}2}$
${\displaystyle \sum (k+2)}$${\displaystyle =\frac{1}{2}m(m+1)+2m}$
${\displaystyle \sum (k+2)}$${\displaystyle =\frac{1}{2}m(m+1+4)}$
${\displaystyle \sum (k+2)}$${\displaystyle =\frac{1}{2}m(m+5)}$
問題文のマスに合う形に変形して、
${\displaystyle \sum (k+2)}$${\displaystyle =\frac{m^2+5m}{2}}$
となる。

解答ト：５, ナ：２

さらに、$d_n={\displaystyle \frac{b_n}{n{c}_n}}$として、$d_n$の和を求めよという。
問題文に「$c_n=b_n+n$に注意して」とあるけれど、焦って$c_n$に$b_n+n$を代入してはいけない。
分母が多項式になると後が面倒だし、ニヌの式を見ると$c_k$が残っている。
なので、
$b_n=c_n-n$
と変形して$d_n$の式に代入して、$b_n$を消そう。
$d_n={\displaystyle \frac{c_n-n}{n{c}_n}}$
$d_n={\displaystyle \frac{c_n}{n{c}_n}-\frac{n}{n{c}_n}}$
$d_n={\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{c_n}}$
より、
${\displaystyle \sum _{k=n}^m{d}_k=\sum _{k=n}^m(\frac{1}{k}-\frac{1}{c_k})}$式Ｂ

解答ニ：１, ヌ：１

式Ｂはさらに、
${\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k=\sum _{k=n}^m\frac{1}{k}-\sum _{k=1}^m\frac{1}{c_k}}$式Ｂ'
と変形できる。

$\{c_n\}$は$\{5,3,4,8,6,7,\cdots \}$という数列だけれど、項数が３の倍数の$m$項なので、小さい順に並べ替えると$\{3,4,5,6,7,8,\cdots ,m+2\}$となる。
だから、
${\displaystyle \sum _{k=1}^m\frac{1}{c_k}=\sum _{k=1}^m\frac{1}{k+2}}$
といえるので、式Ｂ'は
${\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k=\sum _{k=n}^m\frac{1}{k}-\sum _{k=1}^m\frac{1}{k+2}}$式Ｂ''
と書き換えられる。

解答ネ：２

あとは式Ｂ''を解けばよい。
でも、Σの公式に、分母に$k$があるものはなかった。

式Ｂ''をΣを使わずに書くと、
${\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k=(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})}$
         $+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$
         $+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$
         $+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})$
         $+\cdots$
         $+(\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m})$
         $+(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m+1})$
         $+(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+2})$
となる。お約束の形で、ここまで来たら勝ったも同然。

分数はセットで消えて、相手のいない４つだけが残って、
${\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k=(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2})}$
${\displaystyle \sum d_k}$${\displaystyle =(1+\frac{1}{2})-(\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2})}$

解答ノ：２, ハ：２

${\displaystyle \sum d_k}$${\displaystyle =\frac{3}{2}-(\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2})}$
右辺を通分して、
${\displaystyle \sum d_k}$${\displaystyle =\frac{3(m+1)(m+2)}{2(m+1)(m+2)}-\left(\frac{2(m+2)+2(m+1)}{2(m+1)(m+2)}\right)}$
${\displaystyle \sum d_k}$${\displaystyle =\frac{3(m+1)(m+2)-2(m+2)-2(m+1)}{2(m+1)(m+2)}}$
${\displaystyle \sum d_k}$${\displaystyle =\frac{3m^2+9m+6-2m-4-2m-2}{2(m+1)(m+2)}}$
${\displaystyle \sum d_k}$${\displaystyle =\frac{3m^2+5m}{2(m+1)(m+2)}}$
${\displaystyle \sum d_k}$${\displaystyle =\frac{m(3m+5)}{2(m+1)(m+2)}}$
となる。

解答ヒ：３, フ：５, ヘ：２