この解説では、図形の内部にある格子点を

とかく。

問題中の図１にちょっと描きたして、図Ａをつくった。

図Ａを見ると、$S$の内部にある格子点の数は$6$個で、そのうちわけは
直線 $x=1$ 上に$3$個 直線 $x=2$ 上に$2$個 直線 $x=3$ 上に$1$個 だ。

つまり、
$x$ が$1$増えると、の数は$1$減っている。

こうなる理由は図Ａを見れば一目瞭然なんだけど、念のためにちょっと確認しておく。

図Ａのように、直線 $y=-x+5$ 上にある格子点をとする。
このとき、$y=-x+5$ の傾きは$-1$なので、$x$が$1$増えるとの$y$座標は$1$減る。
したがって、の数は$1$減る。

上のように考えると、直線の式が $y=3x$ の場合、傾きが$3$なので
$x$が$1$増えるとの数は$3$増える。

よって、

である。

また、$n$が$1$増えると$a_n$は$3$増えるから、$\{a_n\}$は公差が$3$の等差数列だ。

解答ウ：０, エ：３, オ：０

さらに、$\{a_n\}$の初項$a_1$は
$a_1=2$
だから、一般項$a_n$は
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =2+3(n-1)\\ & =3n-1\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ とかける。

$T$のの数は、この数列の$a_1$～$a_{20}$までの和にあたる。
よって、は、等差数列の和の公式より
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 20(a_1+a_{20})& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 20(2+3\cdot 20-1)\\ & =10\cdot 61\\ & =610\end{array}$$ 個ある。

解答カ：６, キ：１, ク：０

図形$U$で、$x=3$までの格子点を図にすると、図Ｃができる。

図Ｃのように、$y=2^x$ 上にある格子点をとする。

$x=k$ 上にあるとについて考えると、
との数の合計 $=$ の$y$座標 なので、 との数の合計 $=2^k$ であることが分かる。

また、$x=k$上にあるの個数は
つねに$1$個
だ。

よって、
（直線$x=k$上にあるの数）$+1=2^k$
より
（直線$x=k$上にあるの数）$=2^k-1$ 式Ｂ
とかける。

解答ケ：７

以上より、$U$におけるの個数は、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(2^k-1)}$
と表せる。

解答コ：１

あとはこれを計算して、求めるの個数は
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n(2^k-1)& =\sum _{k=1}^n{2}^k-\sum _{k=1}^{n}1\\ & ={\displaystyle \frac{2(1-2^n)}{1-2}}-n\\ & =2(2^n-1)-n\\ & =2^{n+1}-n-2\end{array}$$ 個となる。

解答サ：７

アドバイス

突然 あんまり見たことがないような問題が出てきた。
びっくりするかも知れないけれど、大丈夫。
鉄則は「分からなくなったら上を見る」だ。
というわけで、(1)(2)の作業を振り返ることからはじめよう。

(1)での作業を振り返ると、
関数が$y=3x$のとき、
$x=n$上のの個数は、式Ａの
$3n-1$ だった。

(2)での作業を振り返ると、
関数が$y=2^x$のとき、
$x=k$上のの個数は、式Ｂの
$2^k-1$ だった。

つまり、(1)(2)では、
関数が$y=f(x)$のとき、
$x=k$上のの個数は
$f(k)-1$※ になった。

考えてみると、これは偶然じゃない。
(2)の解説のくり返しになるけど、この部分がこの問題のポイントだから、もう一度 言い方を変えて説明する。

(1)(2)の関数は
$\{\begin{array}{l}0<x\text{の範囲で}0<y\\ x\text{が整数であれば}y\text{も整数}\end{array}$※※
なので、$k$が正の整数のとき、$y=f(x)$と$x=k$は$x$軸より上の格子点で交わる。
これまでと同様に、この格子点をとする。

このとき、直線$x=k$上のの座標は
$(k,f(k))$
である。

よって、直線$x=k$上にあるそれぞれの座標は
$(k,1)$，$(k,2)$，$(k,3)$，$\cdots$，$(k,f(k)-1)$
となるから、は$f(k)-1$個ある。

したがって、※※のとき、※は必ず成り立つ。

ここで、$y=a{x}^2+bx+c$ は
$\{\begin{array}{l}a>0\\ b^2-4ac<0\end{array}$
なので、※※にあてはまる。

ということは、(3)でも※が成り立つから、図形$V$について
$x=k$上のの個数は
$a{k}^2+bk+c-1$ だ。

よって、図形$V$のの個数は
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(a{k}^2+bk+c-1)}$
とかける。

これが$n^3$になればよいので、$n$についての恒等式
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(a{k}^2+bk+c-1)=n^3}$式Ｃ
を解けば $a$，$b$，$c$ の値が求められる。

ということで、あとは計算だ。

式Ｃより

途中式

${\displaystyle a\sum _{k=1}^n{k}^2+b\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^n(c-1)=n^3}$
$\begin{array}{rl}a\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)+b& \cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\\ & +(c-1)n=n^3\end{array}$

両辺に$6$をかけて、
$\begin{array}{rl}an(n+1)(2n+1)+3bn(n+1)+& 6(c-1)n\\ & =6n^3\end{array}$

$n\ne 0$なので、両辺を$n$で割って、
$\begin{array}{rl}a(n+1)(2n+1)+3b(n+1)+6& (c-1)\\ & =6n^2\end{array}$

しかたがないから展開すると、
$2a{n}^2+3an+a+3bn+3b+6c-6=6n^2$

$2a{n}^2+3(a+b)n+a+3b+6c-6=6n^2$

これが$n$についての恒等式なので、
$2a=6$式Ｄ $3(a+b)=0$式Ｅ $a+3b+6c-6=0$式Ｆ だ。

である。