$a=1$のとき、①式は
$(2+4b-2)x^{2}+(5+11)x-b-8=0$
より
$4bx^{2}-b+16x-8=0$
$(4x^{2}-1)b+16x-8=0$②
と変形できる。

これを因数分解すると
$$ \begin{align} \textcolor{green}{(2x-1)}(2x+1)b+8\textcolor{green}{(2x-1)}&=0\\ \textcolor{green}{(2x-1)}\{(2x+1)b+8\}&=0\\ (2x-1)(2bx+b+8)&=0 \end{align} $$ となる。

解答ア：２, イ：８

(i)

$b=2$のとき、①式は
$(2a+4\cdot 2-2)x^{2}+(5a+11)x-2-8=0$
より
$2(a+3)x^{2}+(5a+11)x-10=0$式Ａ
とかける。

これをたすきがけすると

となるから、式Ａは
$(2x+5)\{(a+3)x-2)=0$
と因数分解できる。

解答ウ：２, エ：５, オ：３, カ：２

したがって、このとき、①の解は
$x=-\dfrac{5}{2}$，$\dfrac{2}{a+3}$式Ｂ
である。

(ii)

$a=2\sqrt{2}$のとき、①の解は、式Ｂより
$x=-\dfrac{5}{2}$，$\textcolor{red}{\dfrac{2}{2\sqrt{2}+3}}$
である。

このうち 赤い方の解は、分母を有理化すると
$$ \begin{align} x&=\dfrac{2(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)}\\ &=\dfrac{4\sqrt{2}-6}{8-9}\\ &=6-4\sqrt{2} \end{align} $$ と変形できる。

解答キ：６, ク：４

(iii)

アドバイスの考え方で集合を使って解くと、次のようになる。

式Ｂより、①の解が$x=-\dfrac{5}{2}$だけになるのは、
$\dfrac{2}{a+3}=-\dfrac{5}{2}$であるパターンＡ $x=\dfrac{2}{a+3}$が解をもたないパターンＢ の２パターンある。

パターンＡになるのは
$\dfrac{2}{a+3}=-\dfrac{5}{2}$
より
$$ \begin{align} -5(a+3)&=4\\ -5a-15&=4\\ -5a&=19\\ a&=-\dfrac{19}{5} \end{align} $$ のとき。

パターンＢになるのは
$a+3=0$
より
$a=-3$
のとき。

したがって、①の解が$x=-\dfrac{5}{2}$だけになるのは
$a=-\dfrac{19}{5}$，$-3$
のときである。

以上より、$a=-3$の集合（斜線の集合）と ①の解が$x=-\dfrac{5}{2}$だけである集合（青い集合）をベン図にすると、図Ｄができる。

図の固定

図Ｄのように、斜線の集合は青い集合に含まれている。
なので、斜線の集合は青い集合であるための十分条件だ。
つまり、$a=-3$であることは、①の解が$x=-\dfrac{5}{2}$だけであるための十分条件であり、必要条件ではない。

解答ケ：１