$a=1$のとき、①式は
$(2+4b-2)x^2+(5+11)x-b-8=0$
より
$4b{x}^2-b+16x-8=0$
$(4x^2-1)b+16x-8=0$②
と変形できる。

これを因数分解すると
$$\begin{array}{rl}(2x-1)(2x+1)b+8(2x-1)& =0\\ (2x-1)\{(2x+1)b+8\}& =0\\ (2x-1)(2bx+b+8)& =0\end{array}$$ となる。

解答ア：２, イ：８

(i)

$b=2$のとき、①式は
$(2a+4\cdot 2-2)x^2+(5a+11)x-2-8=0$
より
$2(a+3)x^2+(5a+11)x-10=0$式Ａ
とかける。

これをたすきがけすると

となるから、式Ａは
$(2x+5)\{(a+3)x-2)=0$
と因数分解できる。

解答ウ：２, エ：５, オ：３, カ：２

したがって、このとき、①の解は
$x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$，${\displaystyle \frac{2}{a+3}}$式Ｂ
である。

(ii)

$a=2\sqrt{2}$のとき、①の解は、式Ｂより
$x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$，${\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}+3}}$
である。

このうち 赤い方の解は、分母を有理化すると
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{2(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}-6}{8-9}}\\ & =6-4\sqrt{2}\end{array}$$ と変形できる。

解答キ：６, ク：４

(iii)

アドバイスの考え方で集合を使って解くと、次のようになる。

式Ｂより、①の解が$x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$だけになるのは、
${\displaystyle \frac{2}{a+3}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$であるパターンＡ $x={\displaystyle \frac{2}{a+3}}$が解をもたないパターンＢ の２パターンある。

パターンＡになるのは
${\displaystyle \frac{2}{a+3}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$
より
$$\begin{array}{rl}-5(a+3)& =4\\ -5a-15& =4\\ -5a& =19\\ a& =-{\displaystyle \frac{19}{5}}\end{array}$$ のとき。

パターンＢになるのは
$a+3=0$
より
$a=-3$
のとき。

したがって、①の解が$x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$だけになるのは
$a=-{\displaystyle \frac{19}{5}}$，$-3$
のときである。

以上より、$a=-3$の集合（斜線の集合）と ①の解が$x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$だけである集合（青い集合）をベン図にすると、図Ｄができる。

図の固定

図Ｄのように、斜線の集合は青い集合に含まれている。
なので、斜線の集合は青い集合であるための十分条件だ。
つまり、$a=-3$であることは、①の解が$x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$だけであるための十分条件であり、必要条件ではない。

解答ケ：１