大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 本試数学ⅡＢC 第３問解説

(1)

$F (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2}$
を微分したものが $f (x)$ なので、
$f (x) = 6 x^{2} + 6 x$
である。

解答ア：６, イ：６

これは
$f (x) = 6 x (x + 1)$
と因数分解できるから、
$x = - 1, 0$ のときに
$f (x) = 0$ となって、 $F (x)$ は極値をとることが分かる。

このうち、
$x = 0$
で $F (x)$ は極小値をとることが分かっているので、極大値は
$x = - 1$
のときだ。

解答ウ：－, エ：１

ここで、積分定数について復習しておこう。

復習

積分は微分の逆で、導関数から微分前の関数を求めることだった。
これを図にすると、図Ａのようになる。

図の固定

けれど、ここで問題が出てくる。
図Ａで $F (x)$ を微分して $f (x)$ を計算するとき、定数項は消えてしまう。
この $f (x)$ を積分して $F (x)$ を求めても、定数項は戻ってこない。
仕方がないから、消えてしまった定数項の代わりに積分定数をつけるんだった。

復習より、
定数項（積分定数）の値を変えることで、ひとつの $f (x)$ から原始関数は無限に作れる。

逆にいうと

ポイント

ひとつの $f (x)$ からつくった原始関数は、定数項以外すべて等しい。

このことを知っていれば、すぐに
$G (x) = F (x) +$ 定数
であることが分かる。

これに $F (x)$ の式を代入して定数項を $C$ とおくと
$G (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + C$ 式Ａ
と表せる。

解答オ：２, カ：３

別解

おすすめじゃないけど、計算で解くと次のようになる。

復習

$f (x) = \int f^{'} (x) d x$

いま
$G^{'} (x) = f (x)$ アイより $f (x) = 6 x^{2} + 6 x$ なので、復習より
$\begin{aligned} G (x) & = \int f (x) d x \\ = \int (6 x^{2} + 6 x) d x \end{aligned}$ とかける。

これを計算すると、 $C$ を積分定数として
$G (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + C$ 式Ａ
と表せる。

解答オ：２, カ：３

したがって、
$y = G (x)$
のグラフは
$y = F (x)$
のグラフを $y$ 軸方向に平行移動したものだ。

よって、
$F (x)$ が $x = 0$ で極小値をとるなら、
$G (x)$ も $x = 0$ で極小値をとる。

解答キ：０

また、ウエより、 $F (x)$ は $x = - 1$ で極大値をとるから、 $G (x)$ も $x = - 1$ で極大値をとる。

この極大値が $0$ なので、 $y = G (x)$ のグラフは
$(- 1, 0)$
を通ることが分かる。

これを式Ａに代入すると、
$2 (- 1)^{3} + 3 (- 1)^{2} + C = 0$
より
$- 2 + 3 + C = 0$
$C = - 1$
が求められる。

解答ク：－, ケ：１

(2)

(i)

$0 < k$ のときを考える。

$f (x)$ が2次関数なので、 $F (x), G (x)$ は3次関数だ。

また、(1)で考えたように、 $y = G (x)$ のグラフは $y = F (x)$ のグラフを $y$ 軸方向に平行移動したものだから、

$x = 0$ で $F (x), G (x)$ は極小値をとり、
$F (x)$ の極小値は $0$ $x = k$ で $F (x), G (x)$ は極大値をとり、
$G (x)$ の極大値は $0$ である。

以上より、 $0 < k$ のとき、 $y = F (x)$ と $y = G (x)$ のグラフは図Ｂのようになる。

図の固定

一方、 $F (x), G (x)$ が $x = 0, k$ で極値をとるから、 $f (x)$ は
${\begin{cases} f (0) = 0 \\ f (k) = 0 \end{cases}$
である２次関数だ。

解答コ：０, シ：０

さらに、図Ｂを見ると、 $F (x), G (x)$ は $0 < x < k$ で増加しているので、
$0 < x < k$ で $0 < f (x)$ である。

よって、 $y = f (x)$ のグラフは図Ｃのようになる。

図の固定

図Ｃより、 $f (x)$ は

$x = 0$ の左では $-$ ，右では $+$

解答サ：０

$x = k$ の左では $+$ ，右では $-$

解答ス：１

である。

また、図Ｂより、 $y = F (x)$ のグラフの概形は、選択肢の
③
が適当だ。

解答セ：３

別解

できるだけグラフで考えることがおすすめなんだけど、あえてグラフを使わずに解くと次のようになる。

$F (x)$ が $x = 0$ で極値をとるので、
$f (0) = 0$ である。

解答コ：０

また、 $F (x)$ は $x = 0$ で極小値をとるから
$x = 0$ の左では減少，右では増加する。

よって、 $f (x)$ の符号は
$x = 0$ の左では-，右では $+$ だ。

解答サ：０

さらに、 $G (x)$ が $x = k$ で極値をとるので、
$f (k) = 0$ である。

解答シ：０

また、 $G (x)$ は $x = k$ で極大値をとるから
$x = k$ の左では増加，右では減少する。

よって、 $f (x)$ の符号は
$x = k$ の左では $+$ ，右では- だ。

解答ス：１

以上より、 $f (x)$ の値は表Ｃのようになる。

表C

$x$	$\dots$	$0$	$\dots$	$k$	$\dots$
$f (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

表Ｃをもとに $F (x)$ の増減表を書くと、表Ｄができる。

表Ｄ

$x$	$\dots$	$0$	$\dots$	$k$	$\dots$
$f (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$F (x)$	$↘$	極小値 $0$	$↗$	極大値	$↘$

表Ｄにあてはまるのは、選択肢の
③
しかない。

解答セ：３

(ii)

$F (x) = \int_{タ}^{ソ} f (t) d t$
を計算すると
$\begin{aligned} F (x) & = [F (t)]_{タ}^{ソ} \\ = F (ソ) - F (タ) 式Ｂ \end{aligned}$ とかける。

一方、解答群の４つの選択肢を $F (x)$ に代入すると
$F (0) = 0$ $F (1)$ は値が分からない $F (k)$ は極大値だけど、値が分からない $F (x)$ だ。

なので、式Ｂが成り立つ組合せは
ソが $x$ タが $0$ しかない。

解答ソ：３, タ：０

したがって、 $F (x)$ は
$F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$
と表せる。

よって、 $x = k$ のとき $F (x)$ が極大値をとることは
$F (x)$ の極大値 $= \int_{0}^{k} f (t) d t$
とかける。

解答チ：２, ツ：０

(i)で考えたように、 $y = f (x)$ のグラフは図Ｃだった。
図Ｃにすこし描きたしたものを図Ｄとしてもう一度載せておく。

図の固定

$\int_{0}^{k} f (t) d t$ は、図Ｄの緑の部分の面積にあたる。
つまり、 $F (x)$ の極大値は
${\begin{cases} y = f (x) \\ x 軸 \end{cases}$
に囲まれた部分の面積と等しい。

解答テ：０, ト：０

また、 $y = F (x)$ と $y = G (x)$ のグラフは図Ｂだった。
これにすこし描きたしたものを図Ｅとしてもう一度載せておく。

図の固定

(i)で考えたように
$y = G (x)$ のグラフは $y = F (x)$ のグラフを $y$ 軸方向に平行移動したものなので、図Ｂの２本の緑の線分の長さは等しい。
したがって、
$F (x)$ の極大値は、 $G (x)$ の極小値の $- 1$ 倍である。

解答ナ：２

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