まず、$C_{1}$の式から。

問題文の指示に従って、$C_{1}$の式を
$y=ax^{2}+bx+c$式Ａ
とおく。

仮定１より $C_{1}$は$(0,1)$を通るので、式Ａに$(0,1)$を代入すると
$c=1$
である。

解答ア：１

復習

二次関数の式の表し方は３通りあって、状況に応じて使い分けるんだった。
$y=a(x-p)^{2}+q$式Ｂ
放物線の頂点が$(p,\ q)$ $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$式Ｃ
放物線と$x$軸との交点の$x$座標が $\alpha$，$\beta$ $y=ax^{2}+bx+c$
頂点も$x$軸との交点も分からないとき。
この式を使うと計算が面倒になりやすい。

この問題では$C_{1}$と$x$軸の交点の座標が分かっているので、復習の式Ｃを使う。

$C_{1}$は２点
$\left(-\dfrac{5}{2},\ 0\right)$，$\left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)$
で$x$軸と交わるので、式Cより、$C_{1}$の式は
$y=a\left(x+\dfrac{5}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$
とかける。

これを展開すると
$$ \begin{align} y&=a\left(x^{2}+2x-\dfrac{5}{4}\right)\\ &=ax^{2}+2ax \textcolor{red}{-\dfrac{5}{4}a} \class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$ だけど、アより 赤い部分は$1$なので、
$-\dfrac{5}{4}a=1$
$a=-\dfrac{4}{5}$
だ。

これを式Ｄに代入して、$C_{1}$の式は
$y=-\dfrac{4}{5}x^{2}-\dfrac{8}{5}x+1$
である。

解答イ：４, ウ：５, エ：８, オ：５

アドバイス

次は$C_{1}$の頂点の$y$座標だ。
間違えても$C_{1}$の式を平方完成しようなどと考えてはいけない。

$C_{1}$の軸は、$C_{1}$と$x$軸との２つの交点のちょうど真ん中を通る。
なので、その$x$座標は
$\dfrac{-\cfrac{5}{2}+\cfrac{1}{2}}{2}=-1$
だ。

これが頂点の$x$座標にあたる。

この部分の別解

復習

二次関数
$y=ax^{2}+bx+c$
の頂点の$x$座標は
$\dfrac{-b}{2a}$

復習より、$C_{1}$の頂点の$x$座標は、
$\dfrac{\cfrac{8}{5}}{2\cdot\left(-\cfrac{4}{5}\right)}=-1$
である。

よって、頂点の$y$座標は $C_{1}$の式に$x=-1$を代入した
$$ \begin{align} y&=-\dfrac{4}{5}(-1)^{2}-\dfrac{8}{5}(-1)+1\\ &=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{8}{5}+\dfrac{5}{5}\\ &=\dfrac{9}{5}\class{tex_formula}{式Ｇ} \end{align} $$ である。

解答カ：９, キ：５

$C_{1}$と$C_{3}$は$y$軸に関して対称だから、２つのグラフの頂点を通る放物線$C_{2}$も$y$軸に関して対称である。
よって、$C_{2}$と$x$軸との交点の一方が 仮定２のように $\left(\dfrac{3}{2},\ 0\right)$ならば、もう一方は$\left(-\dfrac{3}{2},\ 0\right)$だ。

このことから、$C_{2}$の式は、$\alpha$を実数として
$y=\alpha\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)$式Ｈ
とかける。

これが$C_{1}$の頂点$\left(-1,\ \dfrac{9}{5}\right)$を通るので、
$\alpha\left(-1-\dfrac{3}{2}\right)\left(-1+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{5}$
より

途中式

$-\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\alpha=\dfrac{9}{5}$
$\alpha=\dfrac{9}{5}\left(-\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{2}{1}\right)$
なので

$\alpha=-\dfrac{9\cdot 2^{2}}{25}$
となる。

これを式Ｈに代入すると、$C_{2}$の式は

途中式

$$ \begin{align} y&=-\dfrac{9\cdot 2^{2}}{25}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\\ &=-\dfrac{9\cdot 2^{2}}{25}x^{2}-\dfrac{9\cdot \cancel{2^{2}}}{25}\cdot\left(-\dfrac{3^{2}}{\cancel{2^{2}}}\right)\\ &=-\dfrac{9\cdot 2^{2}}{25}x^{2}+\dfrac{9\cdot 3^{2}}{25} \end{align} $$ なので

$y=-\dfrac{36}{25}x^{2}+\dfrac{81}{25}$
である。

したがって、$C_{2}$の頂点の$y$座標は
$\dfrac{81}{25}$式Ｉ
だ。

解答ク：８, ケ：１, コ：２, サ：５

仮定２'より、$C_{2}'$は
$C_{1}$の頂点$\left(-1,\ \dfrac{9}{5}\right)$を通る 頂点の座標が$(0,\ 5)$ である放物線だ。

この$C_{2}'$の式をつくる。
頂点の座標が分かっているので、(1)の復習の式Ｂを使おう。

式Ｂより、$\beta$を実数として、$C_{2}'$の式は
$$ \begin{align} y&=\beta(x-0)^{2}+5\\ &=\beta x^{2}+5\class{tex_formula}{式Ｊ} \end{align} $$ とかける。

これが$C_{1}$の頂点を通るから、式Ｊに$\left(-1,\ \dfrac{9}{5}\right)$を代入して計算すると、
$\beta(-1)^{2}+5=\dfrac{9}{5}$
$\beta=\dfrac{9}{5}-5=-\dfrac{16}{5}$
だ。

これを式Ｊに代入すると、$C_{2}'$の式は
$y=-\dfrac{16}{5}x^{2}+5$式Ｊ'
であることが分かる。

今問われているのは$\mathrm{P}_{2}'$の$x$座標、つまり$C_{2}'$と$x$軸の交点の座標だ。
なので、式Ｊ'に$y=0$を代入して$x$を求める。

$-\dfrac{16}{5}x^{2}+5=0$
$x^{2}=\dfrac{5}{\cfrac{16}{5}}=\dfrac{5^{2}}{16}$
$x=\pm\dfrac{5}{4}$
だけど、仮定２'より $\mathrm{P}_{2}'$の$x$座標は正なので、
$x=\dfrac{5}{4}$
である。

以上より、$\mathrm{P}_{2}$と$\mathrm{P}_{2}'$の$x$座標は

$\mathrm{P}_{2}$：$\cfrac{3}{2}$

→

$\mathrm{P}_{2}'$：$\cfrac{5}{4}$

であることが分かった。

$\mathrm{P}_{2}'$の$x$座標から$\mathrm{P}_{2}$の$x$座標を引くと
$\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5-6}{4}=-\dfrac{1}{4}$
となるから、
$\mathrm{P}_{2}'$は$\mathrm{P}_{2}$を$x$軸方向に$-\dfrac{1}{4}$平行移動した点 だ。

言いかえると、
$\mathrm{P}_{2}'$は$\mathrm{P}_{2}$より$\dfrac{1}{4}$だけ$\mathrm{P}_{1}$の方にある ことになる。

解答ス：１, セ：４, ソ：０