大学入学共通テスト 2025年(令和7年) 本試 数学ⅡＢC 第１問 解説
(1)
(1)は、方程式
$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin 2\theta$①
を解く問題だ。
問題文の指示通り
$\left\{\begin{array}{l}
\alpha=\theta+\dfrac{\pi}{6}\\
\beta=2\theta
\end{array}\right.$式Ａ
とおくと、①式は
$\sin\alpha=\sin\beta$②
とかける。
②式の方程式を解くんだけど、解には
$\alpha=\beta$ なので、$\sin\alpha=\sin\beta$
パターンＡ
$\alpha\neq\beta$ だけど、$\sin\alpha=\sin\beta$
パターンＢ
の2パターンある。
この2つのパターンを、ひとつずつ考えてゆこう。
(i)
まず、パターンＡから。
このときの解は、$\alpha=\beta$ なので
$\theta+\dfrac{\pi}{6}=2\theta$
$\theta=\dfrac{\pi}{6}$
となる。
解答ア：6
また、サインの値は
$$
\begin{align}
\sin 2\theta&=\sin\dfrac{\pi}{3}\\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
$$
である。
解答イ：3, ウ：2
ついでに$\alpha$と$\beta$の大小関係を考えておく。
別にこれを考えなくても(1)は解けるけど、考えておくとイメージがつかみやすい。
式Ａを
$\left\{\begin{array}{l}
\alpha:y=\theta+\dfrac{\pi}{6}\\
\beta:y=2\theta
\end{array}\right.$
としてグラフを描く。
アより $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ でふたつの直線は交わる そのとき $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}$ なので、グラフは図Ａのようになる。
図Ａから
$\alpha$，$\beta$のどちらかが$\dfrac{\pi}{3}$より大きければ（図Ａの緑の範囲であれば）、$\alpha \lt \beta$※
であることが分かる。
(ii)
次に、パターンＢだ。
ここで、三角比の拡張の復習をしておこう。
復習
原点から角度$\theta$で直線$\ell$を引く。
このとき、$\ell$と
単位円との交点の
$y$座標が$\sin\theta$
$x$座標が$\cos\theta$
直線$x=1$との交点の
$y$座標が$\tan\theta$
復習より、パターンＢの解は
点$\mathrm{P}$の$y$座標 $=$ 点$\mathrm{Q}$の$y$座標
のときの$\theta$であることが分かる。
解答エ：2
いま $ 0\leqq\theta \lt \pi$なので、式Ａより
$\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\pi}{6}\leqq\alpha \lt \pi+\dfrac{\pi}{6}\\
0\leqq\beta \lt 2\pi
\end{array}\right.$
だから、パターンＢになるのは、図Ｂまたは図Ｃの場合である。
図Ｂ，図Ｃともに、$\alpha$，$\beta$の少なくとも一方は$\dfrac{\pi}{3}$より大きい。
したがって、※より、どちらの図においても
小さい方の角（オレンジの角）が$\alpha$
大きい方の角（緑の角）が$\beta$
になる。
(iii)
$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の場合
$\theta$がこの範囲にあるとき、式Ａより
$\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\pi}{6}\leqq\alpha\leqq\dfrac{2}{3}\pi\\
0\leqq\beta\leqq\pi
\end{array}\right.$
なので、図Ｂの場合だ。
図Ｂの青い角は$\alpha$と等しいから、このとき
$\alpha+\beta=\pi$式Ｂ
であることが分かる。
解答オ：２
式Ｂに式Ａを代入すると
$\theta+\dfrac{\pi}{6}+2\theta=\pi$
とかける。
これを解くと、このときの方程式①の解は
$ 3\theta=\dfrac{5}{6}\pi$
$\theta=\dfrac{5}{18}\pi$
である。
解答カ：５, キ：１, ク：８
$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi$ の場合
$\theta$がこの範囲にあるとき、式Ａより
$\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{2}{3}\pi \lt \alpha \lt \dfrac{7}{6}\pi\\
\pi \lt \beta \lt 2\pi
\end{array}\right.$
なので、図Ｃの場合だ。
図Ｃの青い角は$\alpha$と等しいから、このとき
$\alpha+\beta=3\pi$式Ｃ
であることが分かる。
解答ケ：６
式Ｃに式Ａを代入すると
$\theta+\dfrac{\pi}{6}+2\theta=3\pi$
とかける。
これを解くと、このときの方程式①の解は
$ 3\theta=\dfrac{17}{6}\pi$
$\theta=\dfrac{17}{18}\pi$
である。
解答コ：１, サ：７, シ：１, ス：８
以上で、$ 0\leqq\theta \lt \pi$のときの方程式①の解
$\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{18}\pi,\ \dfrac{17}{18}\pi$
が求められた。
(2)
今度はコサインだ。
(1)と同様に解こう。
$\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos 2\theta$式Ｄ
に式Ａを代入すると、
$\cos\alpha=\cos\beta$
とかける。
この方程式を解くんだけど、(1)と同じように、解には
$\alpha=\beta$ なので、$\cos\alpha=\cos\beta$
パターンＣ
$\alpha\neq\beta$ だけど、$\cos\alpha=\cos\beta$
パターンＤ
の2パターンある。
この2つのパターンを、ひとつずつ考える。
パターンＣ
パターンＣになるのは $\alpha=\beta$ が成り立つときなので、アと同じ
$\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき。
パターンＤ
(1)の復習より、パターンＤが成り立つのは、問題文中の参考図の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の$x$座標が等しいとき。
いま $ 0\leqq\theta \lt \pi$ なので、これは 図Ｄまたは図Ｅのときだ。
確認しておくと、※より、図Ｄ，図Ｅともに小さい方の角が$\alpha$だ。
図Ｄになるには
$\dfrac{\pi}{2}\leqq\alpha \lt \pi$式Ｅ
$\pi \lt \beta\leqq\dfrac{3}{2}\pi$式Ｆ
でないといけない。
これに式Ａを代入すると
式Ｅより
$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta+\dfrac{\pi}{6} \lt \pi$
$\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta \lt \dfrac{5}{6}\pi$
式Ｅ'
式Ｆより
$\pi \lt 2\theta\leqq\dfrac{3}{2}\pi$
$\dfrac{\pi}{2} \lt \theta\leqq\dfrac{3}{4}\pi$
式Ｆ'
なので、図Ｄになるのは
$\dfrac{\pi}{2}\lt \theta \leqq \dfrac{3}{4}\pi$式Ｇ
のときだ（図Ｆ）。
図Ｄの青い角は$\alpha$と等しいから、このとき
$\alpha+\beta=2\pi$
であることが分かる。
これに式Ａを代入すると
$\theta+\dfrac{\pi}{6}+2\theta=2\pi$
とかける。
これを解くと、
$ 3\theta=\dfrac{11}{6}\pi$
$\theta=\dfrac{11}{18}\pi$
となるけど、これは式Ｇの範囲に入っている。
よって、
$\theta=\dfrac{11}{18}\pi$
は方程式Ｄの解である。
図Ｅになるためには、
$0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}$式Ｈ
$\dfrac{3}{2}\pi \lt \beta \lt 2\pi$式Ｉ
でないといけない。
これに式Ａを代入すると
式Ｈより
$0 \lt \theta+\dfrac{\pi}{6} \lt \dfrac{\pi}{2}$
$-\dfrac{\pi}{6} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3}$
式Ｈ'
式Ｉより
$\dfrac{3}{2}\pi \lt 2\theta \lt 2\pi$
$\dfrac{3}{4}\pi \lt \theta \lt \pi$
式Ｉ'
なので、図Ｅになることはない（図Ｇ）。
以上で、$ 0\leqq\theta \lt \pi$のときの方程式Ｄの解
$\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{11}{18}\pi$
が求められた。
解答セ：６, ソ：１, タ：１, チ：１, ツ：８