(i)

よって、解答群のうち正しいものは
⓪
である。

解答タ：０

(ii)

ここで、四分位数について復習しておこう。

復習より、
第１四分位数は$\mathrm{P}12$の$351$ 第３四分位数は$\mathrm{P}36$の$1251$ だ。

よって、四分位範囲は
$1251-351=900$
である。

解答チ：４

問題の最初にあった外れ値の定義から計算すると

（第１四分位数）$-1.5\times$（四分位範囲）
$\hspace{80px}=351-1.5\times 900$
となるけど、これは明らかに負の値になる。
宿泊者数が負の値になることはないから、これは無視。

（第３四分位数）$+1.5\times$（四分位範囲） $$ \begin{align} \hspace{80px}&=1251+1.5\times 900\\ &=2601 \end{align} $$ より、$2601$以上

が外れ値だ。

したがって、問題文中の表１のうち
$\mathrm{P}45$，$\mathrm{P}46$，$\mathrm{P}47$
は日本人宿泊者数が外れ値になる。

表１ではこの３つすべてに印＊がついているので、外国人宿泊者数も外れ値だ。

以上より、ツの都道府県数は
３
である。

解答ツ：３

テでは、$z$の分散$s_{z}^{2}$を問われてる。
なので、分散と共分散の復習をしておこう。

分散の復習

大きさ$n$のデータ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$があり、
データの平均値を$\overline{x}$ データの各値の２乗の平均値を$\overline{x^{2}}$ とするとき、分散$s^{2}$は
$$ \begin{align} s^{2}&=\dfrac{1}{n}\left\{ \begin{aligned} (x_{1}-\overline{x})^{2}+&(x_{2}-\overline{x})^{2}+\\ &\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2} \end{aligned}\right\}\\ &=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2} \end{align} $$ とかける。

このふたつの式は問題によって使い分けるので、両方憶えておこう。

共分散の復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの平均値を$\overline{x}$，$\overline{y}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の共分散$s_{xy}$は
$$ \begin{align} s_{xy}=\dfrac{1}{n}\left\{\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})\\&\quad+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+\\&\qquad\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\end{aligned}\right\} \end{align} $$ である。

復習より、$s_{z}^{2}$は
$s_{z}^{2}=\dfrac{1}{47}\left\{\begin{aligned}(z_{1}-\overline{z})^{2}+&(z_{2}-\overline{z})^{2}+\\ &\cdots+(z_{47}-\overline{z})^{2}\end{aligned}\right\}$
式Ａ
とかける。

問題文にある式
$z_{i}-\overline{z}=(x_{i}-\overline{x})+(y_{i}-\overline{y})$式Ｂ
と式Ａを見比べると、
式Ｂの左辺をを2乗して、
$i$に$1$から$47$を代入して、
和を求めて$47$で割る
と、式Ａの右辺になることが分かる。

ということで、式Ｂの両辺を2乗する。
$$ \begin{align} (z_{i}-\overline{z})^{2}&=\{(x_{i}-\overline{x})+(y_{i}-\overline{y})\}^{2}\\ &=\textcolor{royalblue}{(x_{i}-\overline{x})^{2}}+2\textcolor{red}{(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}\\ &\hspace{120px}+\textcolor{green}{(y_{i}-\overline{y})^{2}} \end{align} $$

この式の$i$に$1$から$47$を代入して、
$$ \begin{align} (z_{1}-\overline{z})^{2}=\textcolor{royalblue}{(x_{1}-\overline{x})^{2}}+&2\textcolor{red}{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})}\\ &\quad+\textcolor{green}{(y_{1}-\overline{y})^{2}} \end{align} $$ $$ \begin{align} (z_{2}-\overline{z})^{2}=\textcolor{royalblue}{(x_{2}-\overline{x})^{2}}+&2\textcolor{red}{(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})}\\ &\quad+\textcolor{green}{(y_{2}-\overline{y})^{2}} \end{align} $$ $\hspace{80px}\vdots$ $$ \begin{align} (z_{47}-\overline{z})^{2}=\textcolor{royalblue}{(x_{47}-\overline{x})^{2}}+&2\textcolor{red}{(x_{47}-\overline{x})(y_{47}-\overline{y})}\\ &\quad+\textcolor{green}{(y_{47}-\overline{y})^{2}} \end{align} $$

この47個の式を辺々たして、
$$ \begin{align} &(z_{1}-\overline{z})^{2}+(z_{2}-\overline{z})^{2}+\cdots+(z_{47}-\overline{z})^{2}\\ &\hspace{10px}=\textcolor{royalblue}{(x_{1}-\overline{x})^{2}}+\textcolor{royalblue}{(x_{2}-\overline{x})^{2}}+\cdots+\textcolor{royalblue}{(x_{47}-\overline{x})^{2}}\\ &\hspace{30px}+2\textcolor{red}{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})}+2\textcolor{red}{(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})}+\\ &\hspace{50px}\cdots+2\textcolor{red}{(x_{47}-\overline{x})(y_{47}-\overline{y})}\\ &\hspace{30px}+\textcolor{green}{(y_{1}-\overline{y})^{2}}+\textcolor{green}{(y_{2}-\overline{y})^{2}}+\cdots+\textcolor{green}{(y_{47}-\overline{y})^{2}} \end{align} $$

この両辺を$47$で割ると、
$$ \begin{align} &\dfrac{1}{47}\left\{\begin{aligned}(z_{1}-\overline{z})^{2}+&(z_{2}-\overline{z})^{2}+\\ &\cdots+(z_{47}-\overline{z})^{2}\end{aligned}\right\}\\ &\quad=\textcolor{royalblue}{\dfrac{1}{47}\left\{\begin{aligned}(x_{1}-\overline{x})^{2}+&(x_{2}-\overline{x})^{2}+\\ &\cdots+(x_{47}-\overline{x})^{2}\end{aligned}\right\}}\\ &\qquad +2\cdot\textcolor{red}{\dfrac{1}{47}\left\{\begin{aligned}&(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})\\ &\quad+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+\\ &\qquad\cdots+(x_{47}-\overline{x})(y_{47}-\overline{y})\end{aligned}\right\}}\\ &\qquad +\textcolor{green}{\dfrac{1}{47}\left\{\begin{aligned}(y_{1}-\overline{y})^{2}+&(y_{2}-\overline{y})^{2}+\\ &\cdots+(y_{47}-\overline{y})^{2}\end{aligned}\right\}} \end{align} $$ 式Ｃ
ができる。

次は $s_{z}^{2}$と$s_{x}^{2}+s_{y}^{2}$の関係だ。

式Dより
$s_{z}^{2}-(s_{x}^{2}+s_{y}^{2})=2s_{xy}$式Ｅ
なので、$s_{xy}$と$0$との大小関係が分かれば、$s_{z}^{2}$と$s_{x}^{2}+s_{y}^{2}$の関係も分かる。

というわけで、$s_{xy}$を考えよう。

---

問題文より、$x$と$y$の間には正の相関があるから、相関係数を$r_{xy}$とすると
$r_{xy} \gt 0$式Ｆ
とかける。

ここで、相関係数の復習をすると、

相関係数の復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、
それぞれの標準偏差を$s_{x}$，$s_{y}$ $\{x\}$と$\{y\}$の共分散を$s_{xy}$ とするとき、$\{x\}$と$\{y\}$の相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$
である。

だった。

復習より、$x$と$y$の標準偏差をそれぞれ$s_{x}$，$s_{y}$とすると、式Ｆは
$\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}} \gt 0$式Ｇ
とかきかえられる。

いま、$s_{x}^{2}$も$s_{y}^{2}$も$0$じゃないから、その正の平方根である標準偏差は
$0 \lt s_{x}$，$0 \lt s_{y}$
だ。

なので、式Ｇの両辺に$s_{x}\cdot s_{y}$をかけても不等号の向きは変わらず、
$s_{xy} \gt 0$
であることが分かる。

したがって、式Ｅの右辺は正なので
$s_{z}^{2}-(s_{x}^{2}+s_{y}^{2}) \gt 0$
となるから、
$s_{z}^{2} \gt s_{x}^{2}+s_{y}^{2}$
である。

解答ト：0

問題文中の実験結果の表を次に載せた。

表の枚数 （枚）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
割合 （％）	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.1	0.1	0.8	1.3
表の枚数 （枚）	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
割合 （％）	2.2	4.5	6.9	9.5	12.3	13.0	12.9	11.2	9.6	7.2	4.1	2.4
表の枚数 （枚）	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
割合 （％）	0.9	0.5	0.4	0.0	0.1	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0

表Ｃの赤い部分の和を求めると、この実験で$23$枚以上表が出た割合は
$2.4+0.9+0.5+0.4+0.1=4.3$（％）
だったことが分かる。

解答ナ：4, ニ：3

硬貨の表が出る確率と裏が出る割合は等しい。
なので、表が出た硬貨の数を「Ａの方がよい」と回答した人数と考えると、
ＡとＢ両方の回答の割合が等しいとき、$35$人中$23$人以上が「Ａの方がよい」と回答する確率は$4.3$％である ことになる。

$4.3$％は$5$％未満なので、問題文中の「方針」により、仮説は誤っていると判断される。

解答ヌ：0

よって、今回のアンケート結果からは、キャンペーンＡの方がよいと思っている人が多いといえる。

解答ネ：0