７点を仮平均として、平均点$\mathrm{A}$を計算すると、
${\displaystyle \mathrm{A}=7+\frac{1}{10}(2+3-3+0+3-2-2+0-1+0)}$
$\mathrm{A}$$=7$
である。

解答ア：７, イ：０

表Ａ

番号	国語
	得点 $x_n$	偏差 $x_n-\bar{x}$	偏差2 $(x_n-\bar{x}{)}^2$
生徒１	9	2	4
生徒２	10	3	9
生徒３	4	-3	9
生徒４	7	0	0
生徒５	10	3	9
生徒６	5	-2	4
生徒７	5	-2	4
生徒８	7	0	0
生徒９	6	-1	1
生徒10	7	0	0
合計		0	40
平均値	7.0
分散	B

復習

データの大きさを$n$
それぞれのデータを$x_1,x_2,x_3,\dots x_n$
平均値を$\bar{x}$
としたとき、分散$s^2$は
$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+(x_3-\bar{x}{)}^2+}$
            $\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\}$式Ａ
$s^2$$=\overline{x^2}-{\left(\bar{x}\right)}^2$式Ｂ
だった。

今回はそれぞれの得点も平均値も整数だし、式Ａの方が計算が楽かも。
国語の偏差の２乗和（$(x_n-\bar{x}{)}^2$の合計）を計算したものが、表Ａである。

表Ａより、国語の分散$\mathrm{B}$は、
${\displaystyle \mathrm{B}=\frac{40}{10}}$
$\mathrm{B}$$=4$
となる。

解答ウ：４, エ：０, オ：０

復習

相関係数について復習しておこう。
共分散を$s_{xy}$とすると、
$s_{xy}={\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})}$＋
            $\cdots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})\}$式G
$s_{xy}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k\cdot y_k-\bar{x}\cdot \bar{y}}$式H
この共分散$s_{xy}$を、$x,y$それぞれの標準偏差の積で割った、
$r_{xy}={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}}$式Ｉ
が相関係数だった。

なので、まず共分散を求める。
今回は式Hよりも式Gの方が計算が楽そうなので、最初に偏差の公差積$(x_n-\bar{x})(z_n-\bar{z})$を求めよう。表Ａ・Ｂで偏差は計算済みなので、あとはかけ算をするだけ。
計算結果は表Ｅを見てほしい。

公差積の合計は$4$なので、平均値は$0.4$。これが共分散$s_{xz}$である。
これを国語と英語の標準偏差の積で割ると、相関係数だ。

復習

標準偏差$s$は、分散を$s^2$とすると、
$s=\sqrt{s^2}$
だった。

なので、相関係数$r_{xz}$は、
$r_{xz}={\displaystyle \frac{0.4}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{1}}}$
$r_{xz}$$=0.2$
である。

解答セ：０, ソ：２, タ：０, チ：０

表Ｅ

番号	国語		英語		公差積 $(x_n-\bar{x})\times$ $(z_n-\bar{z})$
	得点 $x_n$	偏差 $x_n-\bar{x}$	得点 $z_n$	偏差 $z_n-\bar{z}$
生徒１	9	2	9	1	2
生徒２	10	3	9	1	3
生徒３	4	-3	8	0	0
生徒４	7	0	6	-2	0
生徒５	10	3	8	0	0
生徒６	5	-2	9	1	-2
生徒７	5	-2	8	0	0
生徒８	7	0	9	1	0
生徒９	6	-1	7	-1	1
生徒10	7	0	7	-1	0
合計		0		0	4
平均値	7.0		8.0		0.4
分散	4.00		1.00

国語と数学の相関係数$r_{xy}$が$-0.125$、国語の分散が$4$、数学の分散が$1.44$なので、式Ｉより、
${\displaystyle \frac{s_{xy}}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{1.44}}=-0.125}$
$s_{xy}=-0.125\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{1.44}$
$s_{xy}$$=-0.125\cdot 2\cdot 1.2$
$s_{xy}$$=-0.3$
なので、国語と数学の共分散は$-0.3$。

共分散は公差積の平均値なので、公差積の合計は共分散を人数倍した$-3$。

ややこしくなってきたから、ここまでの内容を表に整理しよう。

表Ｆ

番号	国語	数学	国語+数学	公差積 $(x_n-\bar{x})\times$ $(y_n-\bar{y})$
	得点 $x_k$	得点 $y_k$	得点 $w_k=x_k+y_k$
生徒１	9	$y_1$	$w_1$
生徒２	10	$y_2$	$w_2$
生徒３	4	$y_3$	$w_3$
生徒４	7	$y_4$	$w_4$
生徒５	10	$y_5$	$w_5$
生徒６	5	$y_6$	$w_6$
生徒７	5	$y_7$	$w_7$
生徒８	7	$y_8$	$w_8$
生徒９	6	$y_9$	$w_9$
生徒10	7	$y_{10}$	$w_{10}$
合計	F	G	F+G	-3
平均値	7.0	5.4	${\displaystyle \frac{\mathrm{F}+\mathrm{G}}{10}}$	-0.3
分散	4.00	1.44	$s_w^2$
相関 係数	-0.125

表ができたところで、問題を解く。

表Ｆで、$w_{\mathrm{k}}$の平均値$\bar{w}$は、${\displaystyle \frac{\mathrm{F}+\mathrm{G}}{10}=\frac{\mathrm{F}}{10}+\frac{\mathrm{G}}{10}}$。
${\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{10}}$は国語の平均値で、7.0。
${\displaystyle \frac{\mathrm{G}}{10}}$は数学の平均値で、5.4。
よって、
$\bar{w}=7.0+5.4$
$\bar{w}$$=12.4$

解答ツ：１, テ：２, ト：４

次は$T$だ。何やらややこしそうな式だけど、よく見ると公差積の合計である。なので、表Ｆより、$-3$。

解答ナ：－, ニ：３, ヌ：０, ネ：０, ノ：０

さらに国数の分散$s_w^2$を計算するようだ。
問題文中の
$s_w^2={\displaystyle \frac{(w_1-\bar{w}{)}^2+\cdots +(w_{10}-\bar{w}{)}^2}{10}}$
に、その２行上の式
$(w_k-\bar{w}{)}^2=\{(x_k-\bar{x})+(y_k-\bar{y}){\}}^2$
を代入すると、
$s_w^2={\displaystyle \frac{1}{10}[\{(x_1-\bar{x})+(y_1-\bar{y}){\}}^2}$
          $\cdots +\{(x_{10}-\bar{x})+(y_{10}-\bar{y}){\}}^2]$
面倒だけど｛ ｝内を展開しよう。
$s_w^2={\displaystyle \frac{1}{10}\{(x_1-\bar{x}{)}^2+2(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(y_1-\bar{y}{)}^2}$
          $\cdots +(x_{10}-\bar{x})+2(x_{10}-\bar{x})(y_{10}-\bar{y})$
                 $+(y_{10}-\bar{y}{)}^2\}$
$s_w^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{10}\{(x_1-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_{10}-\bar{x})}$
          $+2(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\cdots +2(x_{10}-\bar{x})(y_{10}-\bar{y})$
          $+(y_1-\bar{y}{)}^2+\cdots +(y_{10}-\bar{y}{)}^2\}$
$s_w^2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{10}\{(x_1-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_{10}-\bar{x})\}}$
     $+{\displaystyle \frac{2}{10}\{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\cdots +2(x_{10}-\bar{x})(y_{10}-\bar{y})\}}$
     $+{\displaystyle \frac{1}{10}\{(y_1-\bar{y}{)}^2+\cdots +(y_{10}-\bar{y}{)}^2\}}$式Ｊ

この式の１行目は$x$の分散なので$s_x^2$、
３行目は$y$の分散なので$s_y^2$とかける。
また、２行目は$x$と$y$の共分散の２倍。
$T$を人数の$10$で割ったものが共分散なので、共分散は${\displaystyle \frac{1}{10}T}$とかけるから、２行目は${\displaystyle \frac{1}{5}T}$。
よって、式Ｊは、
$s_w^2=s_x^2+s_y^2+{\displaystyle \frac{1}{5}T}$式Ｊ'
となる。

解答ハ：１

表Ｆより、$s_x^2=4$、$s_y^2=1.44$、$T=-3$なので、式Ｊ'は
$s_w^2=4+1.44+{\displaystyle \frac{1}{5}(-3)}$
$s_w^2$$=4.84$
となる。

解答ヒ：４, フ：８, ヘ：４