復習

まず、漸化式の基本の復習をしよう。
漸化式の基本の形は４つあって、
$a_{n+1}=a_n+d$：公差$d$の等差数列
$a_{n+1}=r{a}_n$：公比$r$の等比数列
$a_{n+1}=a_n+f(n)$：階差数列の一般項が$f(n)$
$a_{n+1}=p{a}_n+q$：特性方程式を使って解く
だった。

今回は４つめのパターンだ。
なので、特性方程式を使って解く。

①の小さな文字を消して
$p={\displaystyle \frac{1}{3}p+1}$
とおくと、
$p={\displaystyle \frac{3}{2}}$

これを①の両辺から引いて、
$p_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{2}=\frac{1}{3}{p}_n+1-\frac{3}{2}}$
$p_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{p}_n-\frac{1}{2}}$
$p_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}(p_n-\frac{3}{2})}$式Ａ
である。

解答ア：３, イ：２

$p_n-{\displaystyle \frac{3}{2}=q_n}$とおくと、式Ａは、
$q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}{q}_n}$
となり、これは漸化式の基本の形の２つめだから、$q_n$は公比${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列である。
$q_n$の初項は、
$q_1=p_1-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
なので、
$q_1=3-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
$q_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

よって、数列$\{q_n\}$は、
$q_n={\displaystyle \frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}$

$p_n-{\displaystyle \frac{3}{2}=q_n}$なので、
$p_n=q_n+{\displaystyle \frac{3}{2}}$
これに$q_n$の一般項を代入して、
$p_n={\displaystyle \frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}+\frac{3}{2}}$式Ｂ
$p_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{2\cdot 3^{n-1}}+\frac{3}{2}}$
$p_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2\cdot 3^{n-2}}+\frac{3}{2}}$式Ｂ'

解答ウ：２, エ：３, オ：３, カ：２

この数列の初項から$n$項までの和は、式Ｂより、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k=\sum _{k=1}^n\{\frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-1}+\frac{3}{2}\}}$式Ｃ
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k}$${\displaystyle =\frac{3}{2}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-1}+\sum _{k=1}^n\frac{3}{2}}$
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k}$${\displaystyle =\frac{3}{2}\left\{\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{1-\frac{1}{3}}\right\}+\frac{3}{2}n}$
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k}$${\displaystyle =\frac{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}+\frac{3}{2}n}$
複分数の分母分子に${\displaystyle \frac{3}{2}}$をかけて、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k}$${\displaystyle =\frac{9}{4}(1-\frac{1}{3^n})+\frac{3}{2}n}$

解答キ：９, ク：４, ケ：３, コ：３, サ：２

アドバイス

式Ｃをつくるのに、式Ｂ'ではなく式Ｂを使った。
等比数列の和の公式でも、Σの公式でも、式Ｂ'にはすぐにあてはめることができないが、式Ｂだと簡単に使えるため。
無意識に式変形の最後の形を使うのではなく、計算しやすい式を使おう。

帰納法を自分で作る問題はセンター試験に出たことがない。まぁ、マークシート方式だから当然と言えば当然だけど。
なので、[Ⅱ]の証明全部を読んで理解する必要はなくて、答えだけ作ろう。

問題の指示通り、②に$n=2k$と$n=2k-1$を代入して、
$a_{2k+3}={\displaystyle \frac{a_{2k}+a_{2k+1}}{a_{2k+2}}}$式Ｄ
$a_{2k+2}={\displaystyle \frac{a_{2k-1}+a_{2k}}{a_{2k+1}}}$式Ｅ
これと、$b_n=a_{2n-1}$、$c_n=a_{2n}$から、タチツテの式を作る。

まず、タチの式の左辺$b_{k+2}$だ。
$b_n=a_{2n-1}$より、
$b_{k+2}=a_{2k+3}$
これは式Ｄの左辺と同じなので、タチの式は式Ｄを材料にしよう。
式Ｄより、
$b_{k+2}={\displaystyle \frac{a_{2k}+a_{2k+1}}{a_{2k+2}}}$式Ｄ'
右辺を見ると、$a_{2k}$は$c_k$なので解決だけど、$a_{2k+1}$と$a_{2k+2}$がじゃま。
なので、この２つを$b_n=a_{2n-1}$、$c_n=a_{2n}$から作る。
$b_n=a_{2n-1}$、$c_n=a_{2n}$に$n=k+1$を代入して、
$b_{k+1}=a_{2(k+1)-1}=a_{2k+1}$式Ｆ
$c_{k+1}=a_{2(k+1)}=a_{2k+2}$
できた。

これを式Ｄ'に代入して、
$b_{k+2}={\displaystyle \frac{c_k+b_{k+1}}{c_{k+1}}}$式Ｄ''
となる。

解答タ：ｂ, チ：ｃ

ツテの式も同じようにして作る。
左辺の$c_{k+1}$は、
$c_n=a_{2n}$より、
$c_{k+1}=a_{2k+2}$
これは式Ｅの左辺と同じなので、ツテの式は式Ｅを材料にしよう。

式Ｅより、
$c_{k+1}={\displaystyle \frac{a_{2k-1}+a_{2k}}{a_{2k+1}}}$式Ｅ'
右辺を見ると、分子の$a_{2k-1}$と$a_{2k}$は、$b_n=a_{2n-1}$、$c_n=a_{2n}$より
$a_{2k}=c_k$
$a_{2k-1}=b_k$
なので解決。
$a_{2k+1}$も、式Ｆで解決。
なので、式Ｅ'は
$c_{k+1}={\displaystyle \frac{b_k+c_k}{b_{k+1}}}$式Ｅ''
である。

解答ツ：ｂ, テ：ｂ

次は、トナニの式だ。
問題文から、式Ｄ''と式Ｅ''から作るのは分かるけど、一瞬悩みそう。

アドバイス

そういうときは、材料になる式と、作りたい式を並べて書いて、見ながら考える。

$b_{k+2}={\displaystyle \frac{c_k+b_{k+1}}{c_{k+1}}}$式Ｄ''
$c_{k+1}={\displaystyle \frac{b_k+c_k}{b_{k+1}}}$式Ｅ''
$b_{k+2}={\displaystyle \frac{([\text{ト}{]}_k+[\text{ナ}{]}_{k+1})[\text{ニ}{]}_{k+1}}{b_k+c_k}}$作りたい式
見比べると、式Ｅ''の分子が作りたい式の分母になっている。
ということは、式Ｄ''に式Ｅ''を代入すれば、何とかなりそう。

式Ｄ''に式Ｅ''を代入して、
$b_{k+2}={\displaystyle \frac{c_k+b_{k+1}}{\frac{b_k+c_k}{b_{k+1}}}}$
分母分子に$b_{k+1}$をかけて、
$b_{k+2}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{(c_k+b_{k+1})\cdot b_{k+1}}{b_k+c_k}}$
となる。

解答ト：ｃ, ナ：ｂ, ニ：ｂ

最後は、$c_1$だ。
$c_n=a_{2n}$より、$c_1=a_2$なので、
$c_1=3$
である。

解答ヌ：３