$f(x)=x^{3}-3a^{2}x+a^{3}$
を微分して、
$f'(x)=3x^{2}-3a^{2}$
$f'(x)$$=3(x+a)(x-a)$
より、
$x=\pm a$
で$f'(x)=0$となる。

ここで、問題文より、$0 \lt a$
$f(x)$は三次関数で、$x^{3}$の係数が正。

よって、増減表を書くまでもなく、$f(x)$は
$x=-a$のとき、極大値
$f(-a)=(-a)^{3}-3a^{2}(-a)+a^{3}$
$f(-a)$$=3a^{3}$ $x=a$のとき、極小値
$f(a)=a^{3}-3a^{2}\cdot a+a^{3}$
$f(a)$$=-a^{3}$ をとる。

解答ア：－, イ：ａ, ウ：３, エ３, オ：ａ, カ：－, キ：３

ここで分からなくなった人は、次の復習を見てほしい。

復習

$f(x)$は三次関数で三次の項の係数が正だから、グラフは全体として右上がり。

 

 

$f'(x)=0$となる$x$が２個のときは図Ｄ、１個のときは図Ｅ、ないときは図Ｆのような形になる。

ここで、3点$(-a,3a^{3})$、$(a,-a^{3})$、$(0,0)$を通る放物線$C$を考える。

図の固定

今回は頂点も軸も分からないし、$x$軸との交点も１か所しか分からないので、展開した形を使おう。

$C$の方程式を$y=px^{2}+qx+r$とおくと、
$(-a,3a^{3})$、$(a,-a^{3})$、$(0,0)$を代入して、
$\left\{\begin{array}{l}
p(-a)^{2}+q(-a)+r=3a^{3}\\
p\cdot a^{2}+q\cdot a+r=-a^{3}\\
r=0
\end{array}\right.$
より、
$\left\{\begin{array}{l}
a^{2}p-aq=3a^{3}\\
a^{2}p+aq=-a^{3}
\end{array}\right.$式Ａ
の連立方程式を解けばよい。
問題より$0 \lt a$なので、$a\neq 0$だから、式Ａの両辺を$a$で割った
$\left\{\begin{array}{l}
ap-q=3a^{2}\\
ap+q=-a^{2}
\end{array}\right.$式Ａ'
を解く。
確認だけど、今求める文字は$p,q$で、$a$は数字扱いだ。

式Ａ'の上の式と下の式で加減法をしよう。
$+)$$ ap-q=3a^{2}$
$\underline{+)ap+q=-a^{2}}$
$+)$$ 2ap=2a^{2}$
$p=\displaystyle \frac{2a^{2}}{2a}$
$p$$=a$
これを式Ａ'の下の式に代入して、
$a^{2}+q=-a^{2}$
$q=-2a^{2}$
となるので、$C$の方程式は
$y=ax^{2}-2a^{2}x$式Ｂ
である。

解答ク：ａ, ケ：２, コ：２

次は、$C$の$(0,0)$における接線$\ell$だ。
式Ｂで$C$の方程式は分かっているので、勝ったも同然。

式Ｂを微分して、
$y'=2ax-2a^{2}$
これに$x=0$を代入すると$-2a^{2}$なので、$\ell$の式は
$y=-2a^{2}x$式Ｃ
である。

解答サ：－, シ：２, ス：２

$\ell$に垂直な直線傾きを$b$とすると、
$-2a^{2}\times b=-1$
$b=\displaystyle \frac{1}{2a^{2}}$
なので、$m$の式は
$y=\displaystyle \frac{1}{2a^{2}}x$式Ｄ
となる。

解答セ：２, ソ：２

ここまでで分かったことをグラフにして整理した。

図の固定

図Ｅの赤い斜線の部分の面積$S$を求める。

まず、$D$と$\ell$の交点を求めよう。
式Ｃと$D$の式の連立方程式を解く。
$-ax^{2}+2a^{2}x=-2a^{2}x$
$ax^{2}-4a^{2}x=0$
$ax(x-4a)=0$
より、
$x=0,4a$
$y$座標は求める必要はない。

よって、$S$は、
$S=\displaystyle \int_{0}^{4a}\{(-ax^{2}+2a^{2}x)-(-2a^{2}x)\}dx$
とかけるけど、二次式と一次式に囲まれた面積なので、$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使えるから、普通に積分してはいけない。
$S=\displaystyle \int_{0}^{4a}(-ax^{2}+4a^{2}x)dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle =-a\int_{0}^{4a}(x^{2}-4ax)dx$

$\displaystyle \frac{1}{6}$公式より、
$S$$=-a\cdot\left\{-\frac{1}{6}(4a-0)^{3}\right\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{3}}{6}a^{4}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{32}{3}a^{4}$式Ｅ
となる。

解答タ：３, チ：２, ツ：３, テ：４

$C$と$m$の交点は、式Ｂと式Ｄの連立方程式を解いて、
$ax^{2}-2a^{2}x=\displaystyle \frac{1}{2a^{2}}x$
両辺を$2a^{2}$倍して、
$2a^{3}x^{2}-4a^{4}x=x$
$2a^{3}x^{2}-(4a^{4}+1)x=0$
$x\{2a^{3}x-(4a^{4}+1)\}=0$
より、
$x=0,\displaystyle \frac{4a^{4}+1}{2a^{3}}$

解答ト：４, ナ：３

ここでちょっと整理しよう。
$C$と$D$は$x$軸に関して対称。
$m$と$\ell$が$x$軸に関して対称であれば、
$C$と$m$に囲まれた面積と、$D$と$\ell$に囲まれた面積が等しくなると考えられる。

式Ｃより、$\ell$の式は、
$y=-2a^{2}x$
$x$軸に関して対称移動すると、
$-y=-2a^{2}x$
$y=2a^{2}x$
これが$m$の式$y=\displaystyle \frac{1}{2a^{2}}x$と等しくなればよいので、
$2a^{2}=\displaystyle \frac{1}{2a^{2}}$
$4a^{4}=1$
ここで問題文のマスを見ると、$a^{4}$の値を答えればよいので、$a$を求める必要はない。
よって、
$a^{4}=\displaystyle \frac{1}{4}$式Ｆ

解答ニ：１, ヌ：４

最後は、$S=T$のときの$S$を求める。
式Ｆを式Ｅに代入するだけだから、簡単簡単。
$S=\displaystyle \frac{32}{3}\cdot\frac{1}{4}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8}{3}$

解答ネ：８, ノ：３