大学入試センター試験 2013年(平成25年) 本試数学ⅡＢ第２問解説

解説

$f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x + a^{3}$
を微分して、
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a^{2}$
$f^{'} (x)$ $= 3 (x + a) (x - a)$
より、
$x = \pm a$
で $f^{'} (x) = 0$ となる。

ここで、問題文より、 $0 < a$
$f (x)$ は三次関数で、 $x^{3}$ の係数が正。

よって、増減表を書くまでもなく、 $f (x)$ は
$x = - a$ のとき、極大値
$f (- a) = (- a)^{3} - 3 a^{2} (- a) + a^{3}$
$f (- a)$ $= 3 a^{3}$ $x = a$ のとき、極小値
$f (a) = a^{3} - 3 a^{2} \cdot a + a^{3}$
$f (a)$ $= - a^{3}$ をとる。

解答ア：－, イ：ａ, ウ：３, エ３, オ：ａ, カ：－, キ：３

ここで分からなくなった人は、次の復習を見てほしい。

復習

$f (x)$ は三次関数で三次の項の係数が正だから、グラフは全体として右上がり。

$f^{'} (x) = 0$ となる $x$ が２個のときは図Ｄ、１個のときは図Ｅ、ないときは図Ｆのような形になる。

ここで、3点 $(- a, 3 a^{3})$ 、 $(a, - a^{3})$ 、 $(0, 0)$ を通る放物線 $C$ を考える。

図の固定

復習

二次関数の式は、 $y = a x^{2} + b x + c$ 展開した形 $y = a (x - p)^{2} + q$ 平方完成した形 $y = a (x - α) (x - β)$ 因数分解した形の３通りの書き方があり、問題に応じて使い分ける。

頂点や軸の情報があるときには、平方完成した形 $x$ 軸との交点が２か所分かっているときには、因数分解した形それらの情報がない時には、展開した形を使うのだった。

今回は頂点も軸も分からないし、 $x$ 軸との交点も１か所しか分からないので、展開した形を使おう。

$C$ の方程式を $y = p x^{2} + q x + r$ とおくと、
$(- a, 3 a^{3})$ 、 $(a, - a^{3})$ 、 $(0, 0)$ を代入して、
${\begin{cases} p (- a)^{2} + q (- a) + r = 3 a^{3} \\ p \cdot a^{2} + q \cdot a + r = - a^{3} \\ r = 0 \end{cases}$
より、
${\begin{cases} a^{2} p - a q = 3 a^{3} \\ a^{2} p + a q = - a^{3} \end{cases}$ 式Ａ
の連立方程式を解けばよい。
問題より $0 < a$ なので、 $a \neq 0$ だから、式Ａの両辺を $a$ で割った
${\begin{cases} a p - q = 3 a^{2} \\ a p + q = - a^{2} \end{cases}$ 式Ａ'
を解く。
確認だけど、今求める文字は $p, q$ で、 $a$ は数字扱いだ。

式Ａ'の上の式と下の式で加減法をしよう。
$+)$ $a p - q = 3 a^{2}$
$\underset{―}{+) a p + q = - a^{2}}$
$+)$ $2 a p = 2 a^{2}$
$p = \frac{2 a^{2}}{2 a}$
$p$ $= a$
これを式Ａ'の下の式に代入して、
$a^{2} + q = - a^{2}$
$q = - 2 a^{2}$
となるので、 $C$ の方程式は
$y = a x^{2} - 2 a^{2} x$ 式Ｂ
である。

解答ク：ａ, ケ：２, コ：２

次は、 $C$ の $(0, 0)$ における接線 $ℓ$ だ。
式Ｂで $C$ の方程式は分かっているので、勝ったも同然。

式Ｂを微分して、
$y^{'} = 2 a x - 2 a^{2}$
これに $x = 0$ を代入すると $- 2 a^{2}$ なので、 $ℓ$ の式は
$y = - 2 a^{2} x$ 式Ｃ
である。

解答サ：－, シ：２, ス：２

$ℓ$ に垂直な直線傾きを $b$ とすると、
$- 2 a^{2} \times b = - 1$
$b = \frac{1}{2 a^{2}}$
なので、 $m$ の式は
$y = \frac{1}{2 a^{2}} x$ 式Ｄ
となる。

解答セ：２, ソ：２

ここまでで分かったことをグラフにして整理した。

図の固定

図Ｅの赤い斜線の部分の面積 $S$ を求める。

まず、 $D$ と $ℓ$ の交点を求めよう。
式Ｃと $D$ の式の連立方程式を解く。
$- a x^{2} + 2 a^{2} x = - 2 a^{2} x$
$a x^{2} - 4 a^{2} x = 0$
$a x (x - 4 a) = 0$
より、
$x = 0, 4 a$
$y$ 座標は求める必要はない。

よって、 $S$ は、
$S = \int_{0}^{4 a} {(- a x^{2} + 2 a^{2} x) - (- 2 a^{2} x)} d x$
とかけるけど、二次式と一次式に囲まれた面積なので、 $\frac{1}{6}$ 公式が使えるから、普通に積分してはいけない。
$S = \int_{0}^{4 a} (- a x^{2} + 4 a^{2} x) d x$
$S$ $= - a \int_{0}^{4 a} (x^{2} - 4 a x) d x$

$\frac{1}{6}$ 公式より、
$S$ $= - a \cdot {- \frac{1}{6} (4 a - 0)^{3}}$
$S$ $= \frac{4^{3}}{6} a^{4}$
$S$ $= \frac{32}{3} a^{4}$ 式Ｅ
となる。

解答タ：３, チ：２, ツ：３, テ：４

$C$ と $m$ の交点は、式Ｂと式Ｄの連立方程式を解いて、
$a x^{2} - 2 a^{2} x = \frac{1}{2 a^{2}} x$
両辺を $2 a^{2}$ 倍して、
$2 a^{3} x^{2} - 4 a^{4} x = x$
$2 a^{3} x^{2} - (4 a^{4} + 1) x = 0$
$x {2 a^{3} x - (4 a^{4} + 1)} = 0$
より、
$x = 0, \frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}$

解答ト：４, ナ：３

ここでちょっと整理しよう。
$C$ と $D$ は $x$ 軸に関して対称。
$m$ と $ℓ$ が $x$ 軸に関して対称であれば、
$C$ と $m$ に囲まれた面積と、 $D$ と $ℓ$ に囲まれた面積が等しくなると考えられる。

式Ｃより、 $ℓ$ の式は、
$y = - 2 a^{2} x$
$x$ 軸に関して対称移動すると、
$- y = - 2 a^{2} x$
$y = 2 a^{2} x$
これが $m$ の式 $y = \frac{1}{2 a^{2}} x$ と等しくなればよいので、
$2 a^{2} = \frac{1}{2 a^{2}}$
$4 a^{4} = 1$
ここで問題文のマスを見ると、 $a^{4}$ の値を答えればよいので、 $a$ を求める必要はない。
よって、
$a^{4} = \frac{1}{4}$ 式Ｆ

解答ニ：１, ヌ：４

別解１

$T$ の面積も、 $S$ と同様に $\frac{1}{6}$ 公式が使える。
$\frac{1}{6}$ 公式について復習すると、

復習

$\int_{α}^{β} (x^{2} + b x + c) d x = - \frac{1}{6} (β - α)^{3}$
ただし、 $α, β$ は $x^{2} + b x + c = 0$ の解
だった。

もし $\int_{α}^{β} (a x^{2} + b x + c) d x$ のように $x^{2}$ の項の係数が $1$ でない場合は、
$a \int_{α}^{β} (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) d x$
のように変形して、 $x^{2}$ の係数を $1$ にしてから使う。

これから分かるのは、 $\frac{1}{6}$ 公式が使える場合、結果に関係するのは $x^{2}$ の係数と $α, β$ のみだということ。
今解いている問題にあてはめて考えてみると、
$S$ も $T$ も、
積分記号の中の $x^{2}$ の係数は $- a$ で共通。
積分の下限(復習での $α$ )は、 $0$ で共通。
積分の上限（復習での $β$ ）は、 $4 a$ と $\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}$ 。
ということは、 $4 a$ と $\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}$ が等しければ、 $S = T$ になるはず。

よって、
$4 a = \frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}$
両辺に $2 a^{3}$ をかけて、
$8 a^{4} = 4 a^{4} + 1$
$4 a^{4} = 1$
$a^{4} = \frac{1}{4}$ 式Ｆ

解答ニ：１, ヌ：４

別解２

ゼンゼンおすすめじゃないけど、真っ正直に解いてみる方法もある。
$T$ は、
$T = \int_{0}^{\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}} {\frac{1}{2 a^{2}} x - (a x^{2} - 2 a^{2} x)} d x$
とかける。これを変形して、
$T$ $= \int_{0}^{\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}} {- a x^{2} + (\frac{1}{2 a^{2}} + 2 a^{2}) x} d x$
$T$ $= - a \int_{0}^{\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}}} {x^{2} - (\frac{1}{2 a^{2}} + 2 a^{2}) x} d x$
$\frac{1}{6}$ 公式を使って、
$T = - a \cdot {- \frac{1}{6} {(\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}} - 0)}^{3}}$
$T$ $= \frac{a}{6} \cdot {(\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}})}^{3}$ 式Ｇ
これが $S$ と等しくなればいいので、
$\frac{a}{6} \cdot {(\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}})}^{3} = \frac{32}{3} a^{4}$ 式Ｈ
両辺に $\frac{6}{a}$ をかけて、
${(\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}})}^{3} = 2 \times 32 a^{3}$
${(\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}})}^{3} = 2^{6} a^{3}$
両辺の３乗根をとって、
$\frac{4 a^{4} + 1}{2 a^{3}} = 2^{2} a$
両辺に $2 a^{3}$ をかけて、
$4 a^{4} + 1 = 2^{3} a^{4}$
$4 a^{4} + 1$ $= 8 a^{4}$
$4 a^{4} = 1$
$a^{4} = \frac{1}{4}$ 式Ｆ
となる。計算が結構大変だ。式Ｇの（）内を展開したりするとメチャクチャになる。

アドバイス

ややこしい計算をする時は、式Ｈのように早めに等式にする。
等式にすれば、両辺にかけたり割ったり３乗根をとったり、いろいろと技が使える。
それから、無意識に展開しない。数学の計算の基本は因数分解である。

解答ニ：１, ヌ：４

最後は、 $S = T$ のときの $S$ を求める。
式Ｆを式Ｅに代入するだけだから、簡単簡単。
$S = \frac{32}{3} \cdot \frac{1}{4}$
$S$ $= \frac{8}{3}$

解答ネ：８, ノ：３

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