＊に
$X=2^x,Y=2^y,Z=2^z$式Ａ
を代入するのだけれど、一番上の式だけは代入しにくい。
式Ａを、それぞれ
$x={\log }_{2}X,y={\log }_{2}Y,z={\log }_{2}Z$
と変形して代入してもいいけれど、面倒。
なので、結果から逆算しよう。

＊の一番上の式が
$XYZ=$ソ
に変形できると考えられるので、これに式Ａを代入して、
$2^x\times 2^y\times 2^z=$ソ
$2^{(x+y+z)}=$ソ
＊より$x+y+z=3$なので、
ソ$=2^3$

解答ソ：８

＊の真ん中の式は、問題文で計算済み。

＊の一番下の式は、式Ａを代入すると、
${\displaystyle \frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}=\frac{49}{16}}$
左辺を通分して、
${\displaystyle \frac{XY+YZ+ZX}{XYZ}=\frac{49}{16}}$
ソより$XYZ=8$なので、
${\displaystyle \frac{XY+YZ+ZX}{8}=\frac{49}{16}}$
$XY+YZ+ZX={\displaystyle \frac{49}{2}}$

解答タ：４, チ：９ , ツ：２

以上より、
$\{\begin{array}{l}XYZ=8\\ X+Y+Z=\frac{35}{2}\\ XY+YZ+ZX=\frac{49}{2}\end{array}$式Ｂ

以下、問題文の説明を補足するけど、流れを理解しなくても、上の行を下の行に機械的に変形するだけで答は出せる。

$f(t)=(t-X)(t-Y)(t-Z)$とおくと、
$X,Y,Z$は、$f(t)=0$の解。
$f(t)$を展開して、
$f(t)=t^3-(X+Y+Z)t^2+(XY+YZ+ZX)t-XYZ$
これに式Ｂを代入して、
$f(t)=t^3-{\displaystyle \frac{35}{2}{t}^2+\frac{49}{2}t-8}$式Ｃ

問題文より、式Ｃは$(t-\frac{1}{2})$で割り切れるので、組み立て除法をしよう。

$1$	$-{\displaystyle \frac{35}{2}}$	${\displaystyle \frac{49}{2}}$	$-8$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$
	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$-{\displaystyle \frac{17}{2}}$	${\displaystyle \frac{16}{2}}$
$1$	$-{\displaystyle \frac{34}{2}}$	${\displaystyle \frac{32}{2}}$	$0$

よって、式Ｃは
$f(t)=(t-\frac{1}{2})(t^2-\frac{34}{2}t+\frac{32}{2})$
$f(t)$$=(t-\frac{1}{2})(t^2-17t+16)$
$f(t)$$=(t-\frac{1}{2})(t-1)(t-16)$
と因数分解できる。

解答テ：１, ト：１, ナ：６

このことから、$f(t)=0$の解は
$t={\displaystyle \frac{1}{2},1,16}$
であることが分かった。
この３解が$X,Y,Z$で、$X\leqq Y\leqq Z$なので、
$X={\displaystyle \frac{1}{2},Y=1,Z=16}$式Ｄ
である。

式Ａより$X=2^x,Y=2^y,Z=2^z$だった。
これをそれぞれ底が$2$の対数をとって、 ${\log }_2{2}^x={\log }_{2}X$
$x{\log }_{2}2={\log }_{2}X$
$x={\log }_{2}X$
${\log }_2{2}^y={\log }_{2}Y$
$y{\log }_{2}2={\log }_{2}Y$
$y={\log }_{2}Y$
${\log }_2{2}^z={\log }_{2}Z$
$z{\log }_{2}2={\log }_{2}Z$
$z={\log }_{2}Z$

解答ニ：２

これに式Ｄを代入して、 $x={\displaystyle {\log }_2\frac{1}{2}}$
$x$$={\log }_2{2}^{-1}$
$x$$=-{\log }_{2}2$
$x$$=-1$
$y={\log }_{2}1$
$y$$={\log }_2{2}^0$
$y$$=0{\log }_{2}2$
$y$$=0$
$z={\log }_{2}16$
$z$$={\log }_2{2}^4$
$z$$=4{\log }_{2}2$
$z$$=4$
である。

解答ヌ：－, ネ：１, ノ：０, ハ：４