＊に
$X=2^{x},Y=2^{y},Z=2^{z}$式Ａ
を代入するのだけれど、一番上の式だけは代入しにくい。
式Ａを、それぞれ
$x=\log_{2}X,\ y=\log_{2}Y,\ z=\log_{2}Z$
と変形して代入してもいいけれど、面倒。
なので、結果から逆算しよう。

＊の一番上の式が
$XYZ=$ソ
に変形できると考えられるので、これに式Ａを代入して、
$2^{x}\times 2^{y}\times 2^{z}=$ソ
$2^{(x+y+z)}=$ソ
＊より$x+y+z=3$なので、
ソ$=2^{3}$

解答ソ：８

＊の真ん中の式は、問題文で計算済み。

＊の一番下の式は、式Ａを代入すると、
$\displaystyle \frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}=\frac{49}{16}$
左辺を通分して、
$\displaystyle \frac{XY+YZ+ZX}{XYZ}=\frac{49}{16}$
ソより$XYZ=8$なので、
$\displaystyle \frac{XY+YZ+ZX}{8}=\frac{49}{16}$
$XY+YZ+ZX=\displaystyle \frac{49}{2}$

解答タ：４, チ：９ , ツ：２

以上より、
$\left\{\begin{array}{l}
XYZ=8\\
X+Y+Z=\frac{35}{2}\\
XY+YZ+ZX=\frac{49}{2}
\end{array}\right.$式Ｂ

以下、問題文の説明を補足するけど、流れを理解しなくても、上の行を下の行に機械的に変形するだけで答は出せる。

$f(t)=(t-X)(t-Y)(t-Z)$とおくと、
$X,Y,Z$は、$f(t)=0$の解。
$f(t)$を展開して、
$f(t)=t^{3}-(X+Y+Z)t^{2}+(XY+YZ+ZX)t-XYZ$
これに式Ｂを代入して、
$f(t)=t^{3}-\displaystyle \frac{35}{2}t^{2}+\frac{49}{2}t-8$式Ｃ

問題文より、式Ｃは$\left(t-\frac{1}{2}\right)$で割り切れるので、組み立て除法をしよう。

$1$	$-\displaystyle \frac{35}{2}$	$\displaystyle \frac{49}{2}$	$-8$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$-\displaystyle \frac{17}{2}$	$\displaystyle \frac{16}{2}$
$1$	$-\displaystyle \frac{34}{2}$	$\displaystyle \frac{32}{2}$	$0$

よって、式Ｃは
$f(t)=\left(t-\frac{1}{2}\right)\left(t^{2}-\frac{34}{2}t+\frac{32}{2}\right)$
$f(t)$$=\left(t-\frac{1}{2}\right)(t^{2}-17t+16)$
$f(t)$$=\left(t-\frac{1}{2}\right)(t-1)(t-16)$
と因数分解できる。

解答テ：１, ト：１, ナ：６

このことから、$f(t)=0$の解は
$t=\displaystyle \frac{1}{2},\ 1,\ 16$
であることが分かった。
この３解が$X,Y,Z$で、$X\leqq Y\leqq Z$なので、
$X=\displaystyle \frac{1}{2},\ Y=1,\ Z=16$式Ｄ
である。

式Ａより$X=2^{x},Y=2^{y},Z=2^{z}$だった。
これをそれぞれ底が$2$の対数をとって、 $\log_{2}2^{x}=\log_{2}X$
$x\log_{2}2=\log_{2}X$
$x=\log_{2}X$
$\log_{2}2^{y}=\log_{2}Y$
$y\log_{2}2=\log_{2}Y$
$y=\log_{2}Y$
$\log_{2}2^{z}=\log_{2}Z$
$z\log_{2}2=\log_{2}Z$
$z=\log_{2}Z$

解答ニ：２

これに式Ｄを代入して、 $x=\displaystyle \log_{2}\frac{1}{2}$
$x$$=\log_{2}2^{-1}$
$x$$=-\log_{2}2$
$x$$=-1$
$y=\log_{2}1$
$y$$=\log_{2}2^{0}$
$y$$=0\log_{2}2$
$y$$=0$
$z=\log_{2}16$
$z$$=\log_{2}2^{4}$
$z$$=4\log_{2}2$
$z$$=4$
である。

解答ヌ：－, ネ：１, ノ：０, ハ：４