△AOPは直角三角形で、$\mathrm{AO}=3$、$\mathrm{OP}=1$なので、三平方の定理より
${\mathrm{AP}}^2=3^2+1^2$
${\mathrm{AP}}^2$$=10$

$0<\mathrm{AP}$だから、
$\mathrm{AP}=\sqrt{10}$

解答ア：１, イ：０

APとODの交点をFとすると、
$\mathrm{△}\mathrm{AFO}\equiv \mathrm{△}\mathrm{AFD}$だから、
$\mathrm{OD}=2\mathrm{OF}$

また、∠AFO=∠AFDなので、∠AFO=∠Rとなり、
△AOP∽△AFO。

よって、
$\mathrm{OF}:\mathrm{PO}=\mathrm{AO}:\mathrm{AP}$
$\mathrm{OF}:1=3:\sqrt{10}$
${\displaystyle \mathrm{OF}=\frac{3}{\sqrt{10}}}$

以上より、
${\displaystyle \mathrm{OD}=\frac{6}{\sqrt{10}}}$
${\displaystyle \mathrm{OD}}$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{10}}{5}}$

解答ウ：３, エ：１, オ：０, カ：５

△ABCの面積は、$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{OAD}$から$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{OAD}$を求め、
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cdot \sin \mathrm{\angle }\mathrm{OAD}}$
としてもいいけど、今回は∠ACBが直角なので、BC=高さを求めた方が楽。

$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:4$
なので、三平方の定理を使うまでもなく、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=5:4:3$
よって、
${\displaystyle \mathrm{BC}=\frac{3}{5}\mathrm{AB}}$
${\displaystyle \mathrm{BC}}$${\displaystyle =\frac{3}{5}\cdot 6}$
${\displaystyle \mathrm{BC}}$${\displaystyle =\frac{18}{5}}$

△ABC$={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BC}}$ なので、
△ABC${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{24}{5}\cdot \frac{18}{5}}$
△ABC${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{24}{5}\cdot \frac{9}{5}}$式Ａ
△ABC${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{216}{25}}$式Ａ'

解答シ：２, ス：１, セ：６, ソ：２ , タ：５

復習

三角形の内接円の半径を求める公式はひとつしかなくて、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)}$式Ｂ
だった。

面積が分かっていて、内接円の半径を聞かれているので、この公式を使おう。
式Ａ・Ｂより、内接円の半径を$r$とすると、
${\displaystyle \frac{1}{2}r(6+\frac{24}{5}+\frac{18}{5})=\frac{24\cdot 9}{5^2}}$式Ｃ
${\displaystyle \frac{24\cdot 3}{2\cdot 5}r=\frac{24\cdot 9}{5^2}}$
$r={\displaystyle \frac{24\cdot 9}{5^2}\cdot \frac{2\cdot 5}{24\cdot 3}}$
$r{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3\cdot 2}{5}}$
$r{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{6}{5}}$

解答チ：６, ツ：５

アドバイス

式Ｃを作るとき、△ABCの面積は式Ａ'ではなく式Ａを使った。
$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=5:4:3$から、$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=3\mathrm{AC}$なので、${\displaystyle \mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=\frac{24}{5}\times 3}$。
これが頭にあれば、式Ｃの左辺を作っている段階で$24$で割り切れることが分かっている。
とすると、右辺は、$24\times 9$を展開した後の式Ａ'を使うより、展開前の式Ａの方が計算が有利だ。

一般的に、かけ算・割り算の式で、計算する要素が多い場合は、部分的に計算した式Ａ'のような数を使うと不利なことが多い。
同様に、分母が無理数の分数も、有理化する前の形を使った方が、計算が楽になることが多い。

直線に接する円の中心間の距離の問題。定期テストなんかでおなじみの問題だ。
円QとBCの接点をS、円RとAEの接点をTとすると、△ABC・△CEAともに直角三角形で、$\mathrm{△}\mathrm{ABC}\equiv \mathrm{△}\mathrm{CEA}$なので、円Qと円Rは合同で、SQRTはこの順に一直線上にある。

このとき、ケコサより、
${\displaystyle \mathrm{ST}=\mathrm{AC}=\frac{24}{5}}$
チツより、
${\displaystyle \mathrm{SQ}=\mathrm{TR}=\frac{6}{5}}$

よって、
$\mathrm{QR}=\mathrm{ST}-(\mathrm{SQ}+\mathrm{TR})$
${\displaystyle \mathrm{QR}}$${\displaystyle =\frac{24}{5}-(\frac{6}{5}+\frac{6}{5})}$
${\displaystyle \mathrm{QR}}$${\displaystyle =\frac{12}{5}}$

解答テ；１, ト：２, ナ：５

なので、
円Qの半径=円Rの半径=$r$とすると、
$\mathrm{QR}=r+r$
であることが分かる。

よって、円Qと円Rは外接する。

解答ニ：２

点QからACに下ろした垂線の足をUとすると、
△AOP∽△AUQ
なので、
$\mathrm{AQ}:\mathrm{AP}=\mathrm{QU}:\mathrm{PO}$

QUは円Qの半径なので、
${\displaystyle \mathrm{AQ}:\sqrt{10}=\frac{6}{5}:1}$
${\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{6\sqrt{10}}{5}}$

解答ヌ：６, ネ：１, ノ：０, ハ：５

PQは、$\mathrm{AQ}-\mathrm{AP}$と考えても、$\mathrm{AP}\times (\frac{6}{5}-1)$と考えても、
${\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{10}}{5}}$

解答ヒ：１, フ：０, ヘ：５

より、
$\mathrm{PQ}<$円Pの半径$<$円Qの半径
となるので、
PもQも他方の円の内部にある。

解答ホ：２