2つの箱A，Bがあり、それぞれに白球と黒球が１個ずつ入っている。それぞれの箱から無作為に球を１個ずつ取り出して交換する試行を行う。$n$回の試行後に、箱Aに入っている球が、
白球と黒球である確率を$a_{n}$ 白球２個または黒球２個である確率を$b_{n}$ とする。
このとき、
(1) $a_{1}$，$b_{1}$を求めなさい。
(2) $a_{2}$，$b_{2}$を求めなさい。
(3) $a_{n+1}$，$b_{n+1}$を$a_{n}$，$b_{n}$を使って表しなさい。
(4) $a_{n}$，$b_{n}$を求めなさい。

数列の単元の問題として、漸化式を使って場合の数や確率を求める問題が、過去のセンター試験に出たことがある。
このタイプの問題が出題される可能性は低いけれど、もし出された場合、初めて見るときっと相当動揺する。
なので、慣れるために１問解いておこう。
同じような問題のセンター試験の過去問はこちら。

表Ａのような状態からスタートする。

両方の箱から球を１個ずつ取り出すのだけれど、取り出された球と、交換した後の箱の中身は表Ｂのような関係になる。

表Ｂのそれぞれのマスは同じ確率で起こるので、
○● ○● になる確率は$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ○○ ●● または ●● ○○ になる確率は$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ である。
なので、
$a_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$ $b_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$ である。

解答$a_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$
$b_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$

(1)から、１回の試行後に
○● ○● になる確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$ ○○ ●● または ●● ○○ になる確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$ である。

さらに、試行前に ○○ ●● だったときは、
箱Aからは必ず○が出る 箱Bからは必ず●が出る ので、試行後は必ず（つまり確率$1$で） ○● ○● になる。

同様に、試行前に ●● ○○ だったときも、試行後は必ず ○● ○● になる。

以上をまとめると、図Ｃができる。

図の固定

図Ｃより、２回の試行後に
○● ○● になる確率$a_{2}$は、
$a_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 1$
$a_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{4}$
○○ ●● または ●● ○○ になる確率$b_{2}$は、
$b_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$
$b_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}$
である。

解答$a_{2}=\displaystyle \frac{3}{4}$
$b_{2}=\displaystyle \frac{1}{4}$

(2)の考え方を整理すると、
試行前に ○● ○● だったら、試行後は
$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で ○● ○● $\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で ○○ ●● または ●● ○○ 試行前に ○○ ●●
または ●● ○○ だったら、試行後は
$1$の確率で ○● ○● である。

なので、試行前に
○● ○● である確率を$a_{n}$ ○○ ●● または ●● ○○ である確率を$b_{n}$ とし、試行後に
○● ○● である確率を$a_{n+1}$ ○○ ●● または ●● ○○ である確率を$b_{n+1}$ とすると、図Ｄのような関係であるから、

図の固定

次のような式ができる。
$a_{n+1}=a_{n}\displaystyle \times\frac{1}{2}+b_{n}\times 1$
$a_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}a_{n}+b_{n}$
$b_{n+1}=a_{n}\displaystyle \times\frac{1}{2}$
$b_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}a_{n}$

解答$a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}+b_{n}$
$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}$

(1)，(3)より、
$a_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$式Ａ $b_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$ $a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}+b_{n}$式Ｂ $b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}$ であることが分かった。
これを$a_{n}$，$b_{n}$について解く。

箱A，Bへの球の入り方は、
○● ○●パターンＡ ○○ ●●パターンＢ ●● ○○パターンＣ の３通りしかない。
パターンＡになる確率は、$a_{n}$ パターンＢまたはパターンＣになる確率は、$b_{n}$ なので、$a_{n}$，$b_{n}$以外の確率は存在しない。
よって、
$a_{n}+b_{n}=1$
より
$b_{n}=1-a_{n}$式Ｃ
である。

式Ｃを式Ｂに代入して、
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}+(1-a_{n})$
$a_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{2}a_{n}+1$式Ｄ
となる。

式Ｆより、
$p_{1}=a_{1}-\displaystyle \frac{2}{3}$
式Ａより
$a_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$
なので、
$p_{1}=-\displaystyle \frac{1}{6}$
となるから、数列$\{p_{n}\}$は
初項$-\displaystyle \frac{1}{6}$ 公比$-\displaystyle \frac{1}{2}$ の等比数列である。
よって、
$p_{n}=-\displaystyle \frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$p_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$
となる。

これを式Ｆに代入して、
$a_{n}-\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$
$a_{n}=\displaystyle \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{2}{3}$式Ｇ
これを式Ｃに代入して
$b_{n}=1-\left\{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{2}{3}\right\}$
$b_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}$式Ｈ
である。

(1)より、$a_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$，$b_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$なので、式Ｇ，式Ｈは$n=1$のときも成り立つ。

解答$a_{n}=\displaystyle \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{2}{3}$
$b_{n}=\displaystyle \frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right\}$