2つの箱A，Bがあり、それぞれに白球と黒球が１個ずつ入っている。それぞれの箱から無作為に球を１個ずつ取り出して交換する試行を行う。$n$回の試行後に、箱Aに入っている球が、
白球と黒球である確率を$a_n$ 白球２個または黒球２個である確率を$b_n$ とする。
このとき、
(1) $a_1$，$b_1$を求めなさい。
(2) $a_2$，$b_2$を求めなさい。
(3) $a_{n+1}$，$b_{n+1}$を$a_n$，$b_n$を使って表しなさい。
(4) $a_n$，$b_n$を求めなさい。

数列の単元の問題として、漸化式を使って場合の数や確率を求める問題が、過去のセンター試験に出たことがある。
このタイプの問題が出題される可能性は低いけれど、もし出された場合、初めて見るときっと相当動揺する。
なので、慣れるために１問解いておこう。
同じような問題のセンター試験の過去問はこちら。

表Ａのような状態からスタートする。

両方の箱から球を１個ずつ取り出すのだけれど、取り出された球と、交換した後の箱の中身は表Ｂのような関係になる。

表Ｂのそれぞれのマスは同じ確率で起こるので、
○● ○● になる確率は${\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}}$ ○○ ●● または ●● ○○ になる確率は${\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}}$ である。
なので、
$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

解答$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

(1)から、１回の試行後に
○● ○● になる確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ○○ ●● または ●● ○○ になる確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

さらに、試行前に ○○ ●● だったときは、
箱Aからは必ず○が出る 箱Bからは必ず●が出る ので、試行後は必ず（つまり確率$1$で） ○● ○● になる。

同様に、試行前に ●● ○○ だったときも、試行後は必ず ○● ○● になる。

以上をまとめると、図Ｃができる。

図の固定

図Ｃより、２回の試行後に
○● ○● になる確率$a_2$は、
$a_2={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 1}$
$a_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{4}}$
○○ ●● または ●● ○○ になる確率$b_2$は、
$b_2={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}$
$b_2{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{4}}$
である。

解答$a_2={\displaystyle \frac{3}{4}}$
$b_2={\displaystyle \frac{1}{4}}$

(2)の考え方を整理すると、
試行前に ○● ○● だったら、試行後は
${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で ○● ○● ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で ○○ ●● または ●● ○○ 試行前に ○○ ●●
または ●● ○○ だったら、試行後は
$1$の確率で ○● ○● である。

なので、試行前に
○● ○● である確率を$a_n$ ○○ ●● または ●● ○○ である確率を$b_n$ とし、試行後に
○● ○● である確率を$a_{n+1}$ ○○ ●● または ●● ○○ である確率を$b_{n+1}$ とすると、図Ｄのような関係であるから、

図の固定

次のような式ができる。
$a_{n+1}=a_n{\displaystyle \times \frac{1}{2}+b_n\times 1}$
$a_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{a}_n+b_n}$
$b_{n+1}=a_n{\displaystyle \times \frac{1}{2}}$
$b_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}{a}_n}$

解答$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n+b_n}$
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n}$

(1)，(3)より、
$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$式Ａ $b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n+b_n}$式Ｂ $b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n}$ であることが分かった。
これを$a_n$，$b_n$について解く。

箱A，Bへの球の入り方は、
○● ○●パターンＡ ○○ ●●パターンＢ ●● ○○パターンＣ の３通りしかない。
パターンＡになる確率は、$a_n$ パターンＢまたはパターンＣになる確率は、$b_n$ なので、$a_n$，$b_n$以外の確率は存在しない。
よって、
$a_n+b_n=1$
より
$b_n=1-a_n$式Ｃ
である。

式Ｃを式Ｂに代入して、
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n+(1-a_n)}$
$a_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =-\frac{1}{2}{a}_n+1}$式Ｄ
となる。

式Ｆより、
$p_1=a_1-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
式Ａより
$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$
なので、
$p_1=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$
となるから、数列$\{p_n\}$は
初項$-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ 公比$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の等比数列である。
よって、
$p_n=-{\displaystyle \frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}}$
$p_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n}$
となる。

これを式Ｆに代入して、
$a_n-{\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n}$
$a_n={\displaystyle \frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n+\frac{2}{3}}$式Ｇ
これを式Ｃに代入して
$b_n=1-\{\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n+\frac{2}{3}\}$
$b_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{3}\{1-{(-\frac{1}{2})}^n\}}$式Ｈ
である。

(1)より、$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$，$b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$なので、式Ｇ，式Ｈは$n=1$のときも成り立つ。

解答$a_n={\displaystyle \frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n+\frac{2}{3}}$
$b_n={\displaystyle \frac{1}{3}\{1-{(-\frac{1}{2})}^n\}}$