等比数列の和の公式
$S_n={\displaystyle \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}}$
を使いたくなるけれど、そうすると今回は面倒なことが起こる。

この問題のように、等比数列の和の問題で、
初項からはじめて、８項の和
第５項からはじめて、８項の和
が分かっているようなとき、つまり、$m$項ずつのセットの和が分かっているようなときは、お約束の解き方があるので憶えておこう。

以下、「おすすめじゃない解き方」で等比数列の和の公式を使った解法を説明した後、「おすすめの解き方」で上手な方法を説明した。
前の方法より、後の方法が圧倒的に簡単なことが分かってもらえると思う。

等比数列の和の公式から、公比を$r$として、
$S_8={\displaystyle \frac{a_1(1-r^8)}{1-r}=8}$式Ａ
$S_{12}-S_4={\displaystyle \frac{a_1(1-r^{12})}{1-r}-\frac{a_1(1-r^4)}{1-r}=24}$
として、
${\displaystyle \frac{S_{12}-S_4}{S_8}=\frac{\frac{a_1(1-r^{12})}{1-r}-\frac{a_1(1-r^4)}{1-r}}{\frac{a_1(1-r^8)}{1-r}}=\frac{24}{8}}$
より
${\displaystyle \frac{(1-r^{12})-(1-r^4)}{1-r^8}=3}$
${\displaystyle \frac{-r^{12}+r^4}{1-r^8}=3}$
${\displaystyle \frac{r^4(1-r^8)}{1-r^8}=3}$
ここで、$r$は$1$でない実数なので、$1-r^8\ne 0$だから、
$r^4=3$
$r=\pm 3^{\frac{1}{4}}$

$r=3^{\frac{1}{4}}$のとき、式Ａより
${\displaystyle \frac{a_1\{1-{\left(3^{\frac{1}{4}}\right)}^8\}}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8}$
${\displaystyle \frac{a_1(1-3^{\frac{8}{4}})}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8}$
${\displaystyle \frac{a_1(1-9)}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8}$
${\displaystyle \frac{-8a_1}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8}$
$a_1=-1+3^{\frac{1}{4}}$

$r=-3^{\frac{1}{4}}$のとき、式Ａより
${\displaystyle \frac{a_1\{1-{(-3^{\frac{1}{4}})}^8\}}{1-(-3^{\frac{1}{4}})}=8}$
${\displaystyle \frac{a_1(1-3^{\frac{8}{4}})}{1+3^{\frac{1}{4}}}=8}$
${\displaystyle \frac{a_1(1-9)}{1+3^{\frac{1}{4}}}=8}$
${\displaystyle \frac{-8a_1}{1+3^{\frac{1}{4}}}=8}$
$a_1=-1-3^{\frac{1}{4}}$

求める初項から第16項の和は、等比数列の和の公式より、
$S_{16}={\displaystyle \frac{a_1(1-r^{16})}{1-r}}$
$S_{16}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{(-1\pm 3^{\frac{1}{4}})\{1-{(\pm 3^{\frac{1}{4}})}^{16}\}}{1-(\pm 3^{\frac{1}{4}})}}$
$S_{16}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{(-1\pm 3^{\frac{1}{4}})(1-3^{\frac{16}{4}})}{-(-1\pm 3^{\frac{1}{4}})}}$
$S_{16}$$=-1+3^{\frac{16}{4}}$
$S_{16}$$=-1+81$
$S_{16}$$=80$
である。

解答$80$

初項から第８項の和
$a_1+a_2+\cdots +a_8=8$
を$a_1$と$r$を使って表すと、
$a_1+a_{1}r+\cdots a_1{r}^7=8$式Ｃ
となる。

同様に
$a_5+a_6+\cdots +a_{12}=24$
を$a_1$と$r$を使って表すと、
$a_1{r}^4+a_1{r}^5+\cdots a_1{r}^{11}=24$
$r^4(a_1+a_{1}r+\cdots a_1{r}^7)=24$
となる。この式の$()$内は式Ｃと同じなので、
$8r^4=24$
$r^4=3$式Ｄ

初項から第$16$項の和は、
$(a_1+a_2+\cdots +a_8)+(a_9+a_{10}+\cdots +a_{16})$
だけど、前半の
$a_1+a_2+\cdots +a_8$
の部分は、問題文より$8$であることが分かっている。
なので、後半の
$a_9+a_{10}+\cdots +a_{16}$
の部分だけ考える。

さっきと同様に、この式を$a_1$と$r$を使って表すと、
$a_1{r}^8+a_1{r}^9+\cdots a_1{r}^{15}$
$=r^8(a_1+a_{1}r+\cdots a_1{r}^7)$式Ｅ
となる。

式Ｄより、
$r^4=3$
なので、
$r^8=(r^4{)}^2=9$

式Ｃより、
$a_1+a_{1}r+\cdots a_1{r}^7=8$

なので、式Ｅより
$a_9+a_{10}+\cdots +a_{16}=9\cdot 8$
よって、
$(a_1+a_2+\cdots +a_8)+(a_9+a_{10}+\cdots +a_{16})=8+9\cdot 8$
$(a_1+a_2+\cdots +a_8)+(a_9+a_{10}+\cdots +a_{16})$$=8\cdot (1+9)$
$(a_1+a_2+\cdots +a_8)+(a_9+a_{10}+\cdots +a_{16})$$=80$
である。

解答$80$