等比数列の和の公式
$S_{n}=\displaystyle \frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}$
を使いたくなるけれど、そうすると今回は面倒なことが起こる。

この問題のように、等比数列の和の問題で、
初項からはじめて、８項の和
第５項からはじめて、８項の和
が分かっているようなとき、つまり、$m$項ずつのセットの和が分かっているようなときは、お約束の解き方があるので憶えておこう。

以下、「おすすめじゃない解き方」で等比数列の和の公式を使った解法を説明した後、「おすすめの解き方」で上手な方法を説明した。
前の方法より、後の方法が圧倒的に簡単なことが分かってもらえると思う。

等比数列の和の公式から、公比を$r$として、
$S_{8}=\displaystyle \frac{a_{1}(1-r^{8})}{1-r}=8$式Ａ
$S_{12}-S_{4}=\displaystyle \frac{a_{1}(1-r^{12})}{1-r}-\frac{a_{1}(1-r^{4})}{1-r}=24$
として、
$\displaystyle \frac{S_{12}-S_{4}}{S_{8}}=\frac{\frac{a_{1}(1-r^{12})}{1-r}-\frac{a_{1}(1-r^{4})}{1-r}}{\frac{a_{1}(1-r^{8})}{1-r}}=\frac{24}{8}$
より
$\displaystyle \frac{(1-r^{12})-(1-r^{4})}{1-r^{8}}=3$
$\displaystyle \frac{-r^{12}+r^{4}}{1-r^{8}}=3$
$\displaystyle \frac{r^{4}(1-r^{8})}{1-r^{8}}=3$
ここで、$r$は$1$でない実数なので、$1-r^{8}\neq 0$だから、
$r^{4}=3$
$r=\pm 3^{\frac{1}{4}}$

$r=3^{\frac{1}{4}}$のとき、式Ａより
$\displaystyle \frac{a_{1}\left\{1-\left(3^{\frac{1}{4}}\right)^{8}\right\}}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8$
$\displaystyle \frac{a_{1}\left(1-3^{\frac{8}{4}}\right)}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8$
$\displaystyle \frac{a_{1}\left(1-9\right)}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8$
$\displaystyle \frac{-8a_{1}}{1-3^{\frac{1}{4}}}=8$
$a_{1}=-1+3^{\frac{1}{4}}$

$r=-3^{\frac{1}{4}}$のとき、式Ａより
$\displaystyle \frac{a_{1}\left\{1-\left(-3^{\frac{1}{4}}\right)^{8}\right\}}{1-\left(-3^{\frac{1}{4}}\right)}=8$
$\displaystyle \frac{a_{1}\left(1-3^{\frac{8}{4}}\right)}{1+3^{\frac{1}{4}}}=8$
$\displaystyle \frac{a_{1}\left(1-9\right)}{1+3^{\frac{1}{4}}}=8$
$\displaystyle \frac{-8a_{1}}{1+3^{\frac{1}{4}}}=8$
$a_{1}=-1-3^{\frac{1}{4}}$

求める初項から第16項の和は、等比数列の和の公式より、
$S_{16}=\displaystyle \frac{a_{1}(1-r^{16})}{1-r}$
$S_{16}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\left(-1\pm 3^{\frac{1}{4}}\right)\left\{1-\left(\pm 3^{\frac{1}{4}}\right)^{16}\right\}}{1-\left(\pm 3^{\frac{1}{4}}\right)}$
$S_{16}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\left(-1\pm 3^{\frac{1}{4}}\right)\left(1-3^{\frac{16}{4}}\right)}{-\left(-1\pm 3^{\frac{1}{4}}\right)}$
$S_{16}$$=-1+3^{\frac{16}{4}}$
$S_{16}$$=-1+81$
$S_{16}$$=80$
である。

解答$80$

初項から第８項の和
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}=8$
を$a_{1}$と$r$を使って表すと、
$a_{1}+a_{1}r+\cdots a_{1}r^{7}=8$式Ｃ
となる。

同様に
$a_{5}+a_{6}+\cdots+a_{12}=24$
を$a_{1}$と$r$を使って表すと、
$a_{1}r^{4}+a_{1}r^{5}+\cdots a_{1}r^{11}=24$
$r^{4}(a_{1}+a_{1}r+\cdots a_{1}r^{7})=24$
となる。この式の$()$内は式Ｃと同じなので、
$8r^{4}=24$
$r^{4}=3$式Ｄ

初項から第$16$項の和は、
$(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8})+(a_{9}+a_{10}+\cdots+a_{16})$
だけど、前半の
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}$
の部分は、問題文より$8$であることが分かっている。
なので、後半の
$a_{9}+a_{10}+\cdots+a_{16}$
の部分だけ考える。

さっきと同様に、この式を$a_{1}$と$r$を使って表すと、
$a_{1}r^{8}+a_{1}r^{9}+\cdots a_{1}r^{15}$
$=r^{8}(a_{1}+a_{1}r+\cdots a_{1}r^{7})$式Ｅ
となる。

式Ｄより、
$r^{4}=3$
なので、
$r^{8}=(r^{4})^{2}=9$

式Ｃより、
$a_{1}+a_{1}r+\cdots a_{1}r^{7}=8$

なので、式Ｅより
$a_{9}+a_{10}+\cdots+a_{16}=9\cdot 8$
よって、
$(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8})+(a_{9}+a_{10}+\cdots+a_{16})=8+9\cdot 8$
$(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8})+(a_{9}+a_{10}+\cdots+a_{16})$$=8\cdot (1+9)$
$(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8})+(a_{9}+a_{10}+\cdots+a_{16})$$=80$
である。

解答$80$