数列
$\{a_n\}=3,6,6,9,9,9,12,12,12,12,15,\dots$
を
$3|6,6|9,9,9|12,12,12,12|15,\dots$
のように群に分けるとき、
(1)$a_{100}$の値を答えよ。
(2)$1000\leqq a_1+a_2+\cdots +a_n$となる最小の自然数$n$を求めよ。
（類：センター試験2003年本試）

各群に含まれる項がすべて同じ値の群数列の問題だ。
このタイプの問題は、実は群数列的な考え方をしなくても解ける。
けれど、定期テストや模試などでも群数列として出題されるので、以下群数列として解説した。
例によって表を使って解くから、まだ読んでない人は先に群数列のページを見てもらいたい。

例題の情報を、表Ａにまとめた。
で、問題を解く前に、表Ａのピンクのマスをうめよう。

表Ａ

群		$1$	$2$		$3$			$\cdots$	$m$
$\{a_n\}$		$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$a_6$	$\cdots$	$a_{?}$	$\cdots$	$a_{?}$
	$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$	⑤	$\cdots$	④
	値	$3$	$6$	$6$	$9$	$9$	$9$	$\cdots$	②	$\cdots$	②
群の	項数	$1$	$2$		$3$			$\cdots$	①
	和							$\cdots$	③

まず①から始めよう。
ここに入るのは、第$m$群に含まれる項の数だ。
第$1$群が項数$1$，第$2$群が項数$2$，第$3$群が項数$3$なので、第$m$群は項数$m$だって考えられるから、①のマスには$m$を入れる。

それから、②。
第$1$群に含まれる項はすべて$3$ 第$2$群に含まれる項はすべて$6$ 第$3$群に含まれる項はすべて$9$ なので、
第$m$群に含まれる項はすべて$3m$ と考えられる。

ここまで求めたら、③の、群の項の和を計算しておこう。
群の項数は$m$ 項の値はすべて$3m$ なので、群の項の和は
$3m\times m=3m^2$
である。

次は、④。
第$m$群の末項の$n$、つまり第$m$群の末項が$\{a_n\}$の何項目にあたるかを考える。
第$m$群の末項の$n$は、$1$～$m$群に含まれる項数の和なので、
④$=1+2+3+4+\cdots +m$
④${\displaystyle }$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{m}k}$
④${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}m(m+1)}$
である。

④が分かれば⑤は簡単だ。
第$m$群の初項は、第$(m-1)$群の末項の次の項。
第$(m-1)$群の末項は、④より
${\displaystyle \frac{1}{2}(m-1)m}$
なので、
⑤$={\displaystyle \frac{1}{2}(m-1)m+1}$
⑤${\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}(m^2-m+2)}$
となる。

これまでの結果を書き込んで表を完成させたのが、表Ｂだ。

$a_{100}$が第何群に入るかを考える。
表Ｂより、
第$m$群の初項は、$\{a_n\}$の
${\displaystyle \frac{1}{2}(m^2-m+2)}$項目。
第$m$群の末項は、$\{a_n\}$の
${\displaystyle \frac{1}{2}m(m+1)}$項目。
よって、
${\displaystyle \frac{1}{2}(m^2-m+2)\leqq 100\leqq \frac{1}{2}m(m+1)}$式Ａ
となる$m$を求めれば、それが$a_{100}$の含まれる群だ。

式Ａの中辺と右辺より、
$100{\displaystyle \leqq \frac{1}{2}m(m+1)}$
$200\leqq m(m+1)$式Ｂ
なんだけど、これを真面目に二次不等式として解いてはいけない。時間がかかるから。
式Ｂの右辺は連続する整数。
なので、かけて$200$以上になる連続する整数をさがす。

今回は$200$くらいの数なのでやみくもに探しても見つかるけれど、もっと大きな数だと大変だ。
式Ｂの左辺の$200$を
$200={\sqrt{200}}^2$
$200$$=(10\sqrt{2}{)}^2$
$200$$\doteqdot (10\times 1.41{)}^2$
$200$$={14.1}^2$
と考えると、$m$は$14$くらいの数だと想像がつく。

式Ｂの右辺に$m=14$を代入すると、
$14(14+1)=210$
なので、式Ｂは成り立つ。
また、$m=14$のときに$210$なので、$m=13$のときは計算するまでもなく式Ｂは成り立たない。
よって、$a_{100}$は第$14$群に含まれる。

表Ｂより、第$m$群に含まれる項の値はすべて$3m$。
なので、第$14$群に含まれる項の値はすべて$42$。

以上より
$a_{100}=42$
である。

解答$a_{100}=42$

(1)と同じように、$a_n$が第何群に入るか考えよう。

$a_n$が第$m$群に入るとすると、
$1000\leqq$第$1$群から第$m$群までの和
である。

表Ｂより、第$m$群に含まれる項の和は
$3m^2$
なので、第$1$群から第$m$群までに含まれる項の和は、
${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}3k^2}$式Ｃ
とかけるから、
$1000{\displaystyle \leqq \sum _{k=1}^{m}3k^2}$
という式ができる。

これを変形して、
$1000{\displaystyle \leqq 3\cdot \frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)}$
$1000{\displaystyle \leqq \frac{1}{2}m(m+1)(2m+1)}$
右辺の${\displaystyle \frac{1}{2}}$と$(2m+1)$をかけ算して
$1000\leqq m(m+1)(m+\frac{1}{2})$式Ｄ
となる。

これから式Dを解くのだけれど、(1)の式Ｂのときと同じような考え方をしよう。
式Ｄの
左辺は、${10}^3$ 右辺は、連続する整数とその間の数の積。 なので、$m=10$のとき、式Ｄは成り立つことが分かる。

次に$m=9$でやってみよう。
式Ｄに$m=9$を代入して、
$1000{\displaystyle \leqq 9\cdot (9+1)\cdot \frac{9+1}{2}}$
$1000\leqq 9\cdot 10\cdot 5$
両辺を$50$で割って、
$20\leqq 9$
より、式Ｄは$m=9$のときには成り立たない。

以上より、第$1$群から第$10$群の和が、はじめて$1000$を超えることが分かる。
よって、求める$a_n$は第$10$群に含まれる。

ここまでの結果を表にすると、表Ｃができる。

表Ｃ

群	$1$	$2$		$\cdots$	$9$			$10$
項	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$\cdots$	$a_{?}$	$\cdots$	$a_{45}$①	$a_{?}$	$\cdots$	$a_n$	$\cdots$	$a_{?}$
	$3$	$6$	$6$	$\cdots$	$27$②	$\cdots$	$27$②	$30$③	$\cdots$	$30$③	$\cdots$	$30$③
合計	$855$④

表Ｃについて、ちょっと補足。

①の$a_{45}$は、
表Ｂより、第$m$群の末項は第${\displaystyle \frac{1}{2}m(m+1)}$項なので、
第$9$群の末項は、これに$m=9$を代入して、第$45$項。

②の$27$は、
表Ｂより、第$m$群に含まれる項の値はすべて$3m$なので、第$9$群の項は、これに$m=9$を代入して、$27$。

③の$30$も、$3m$に$m=10$を代入して、$30$。

④の$855$は、
式Ｃより、第$1$群から第$m$群までに含まれる項の和は、${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}3k^2}$
これに、$m=9$を代入すると、第$1$群から第$9$群までに含まれる項の和は、${\displaystyle \sum _{k=1}^{9}3k^2}$
これを計算して、
${\displaystyle \sum _{k=1}^{9}3k^2=3\cdot \frac{1}{6}\cdot 9(9+1)(2\cdot 9+1)}$
          $=855$
である。

表Ｃより、第$1$群から第$9$群までに含まれる項の和は、$855$。
なので、$1000$には$145$足りない。
足りない分は、第$10$群の項をいくつかたさないといけない。

第$10$群に含まれる項はすべて$30$なので、
$30\times 4<145<30\times 5$
より、第$10$群の項を$5$項たせば、初項からの和が$1000$以上になることが分かる。

表Ｃから、第$9$群の末項は$a_{45}$
これに$5$項加えるので、
$45+5=50$
より、$a_1$から$a_{50}$までの和がはじめて$1000$以上になる。

解答$n=50$