一般項と和

数列$\{a_n\}$の公差を$d$，初項から$n$項の和を$S_n$とすると、

一般項
$a_n=a_1+(n-1)d$

和
$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}n(a_1+a_n)}$

等差中項

$a$，$b$，$c$がこの順で等差数列のとき、
$a+c=2b$

一般項と和

数列$\{a_n\}$の公比を$r$，初項から$n$項の和を$S_n$とすると、

一般項
$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

和
$S_n={\displaystyle \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}}$

等比中項

$a\text{，}b\text{，}c$がこの順で等比数列のとき、
$ac=b^2$

階差数列

$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_k(2\leqq n)}$

和から一般項を求める

$\{\begin{array}{l}{a}_1=S_1\\ a_n=S_n-S_{n-1}(2\leqq n)\end{array}$

分母が積で表された分数の数列の和

${\displaystyle \frac{1}{a_n(a_n+k)}=\frac{1}{k}\{\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_n+k}\}}$
     と表し、できた分数を$\pm$セットで消す。

$($等差数列$)\times ($等比数列$)$ の和

$S_n$

$=$

$a_1{b}_1$

$+$

$a_2{b}_2$

$+$

$a_3{b}_3$

$+$

$\cdots$

$+$

$a_n{b}_n$

$-$ $)$

$r{S}_n$

$=$

$r{a}_1{b}_1$

$+$

$r{a}_2{b}_2$

$+$

$r{a}_3{b}_3$

$+$

$\cdots$

$+$

$r{a}_n{b}_n$

$(1-r)S_n$

$=$

$a_1{b}_1$

$+$

$d(b_2+b_3+\cdots +b_n)$

$-$

$r{a}_n{b}_n$

群数列

例えば次のような表をつくり、ピンク色の部分を求める。

群		$1$	$2$		$3$			$\cdots$	$m$
$\{a_n\}$		$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$a_6$	$\cdots$	$a_{?}$	$\cdots$	$a_{?}$	$\cdots$	$a_n$
	$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$	○	$\cdots$	○	$\cdots$	$n$
	値	○	○	○	○	○	○	$\cdots$	○	$\cdots$	○	$\cdots$	○
群の 項数		$1$	$2$		$3$			$\cdots$	○