座標平面上に点$R$があり、点$R$を$x$軸方向に$1$移動した点を点$P$、点$R$の$x$座標だけを$2$倍した点を点$Q$とする。
点$R$が直線$y=2x+3$上を動くとき、点$P$，点$Q$の軌跡を求めなさい。

グラフの移動の授業で、生徒からよくある質問に「$x$軸方向に$+1$平行移動するとき、なぜ$x$に$x+1$じゃなくて$x-1$を代入するのか」ってのがある。
気持ちは分かる。$+1$動くのなら$x+1$を代入しそうな気がする。なぜ$\pm$が逆になるのか。
考えてみれば、グラフを$y$軸を中心として$x$軸方向に$2$倍に拡大するときも、$x$に$2x$じゃなくて$\displaystyle \frac{x}{2}$を代入する。なぜかけ算と割り算が入れ替わるのか。
このページでは、そこのところを説明する。
でも、これを知らなくても共通テストは解けます。

図Ａで、緑の直線が$y=2x+3$のグラフ、赤い直線が求める軌跡だ。

復習

軌跡の問題を解くときの鉄則は、
軌跡を求める点を$(x,y)$とおく こと。

復習の方針通り、点$P$の座標を
$(x,y)$
とおく。

点$R$の座標を
$(a,b)$
とおくと、
点$R$は$y=2x+3$上の点なので、
$b=2a+3$式Ａ 点$R$を$x$方向に$1$移動した点が$P$なので、
$\left\{\begin{array}{l}a+1=x\\b=y\end{array}\right.$式Ｂ である。

式Ｂを
$a+1=x$式Ｃ
$a=x-1$式Ｄ
$b=y$
と変形して、式Ａに代入すると、
$y=2(x-1)+3$式Ｅ
より
$y=2x-2+3$
$y$$=2x+1$
ができる。
これが求める軌跡で、$y=2x+3$を$x$軸方向に$1$平行移動したものだ。

解答$y=2x+1$

図Ｂで、緑の直線が$y=2x+3$のグラフ、赤い直線が求める軌跡だ。

点$P$のときと同じように、点$Q$の座標を
$(x,y)$
とおく。

点$R$の座標を
$(a,b)$
とおくと、
点$R$は$y=2x+3$上の点なので、
$b=2a+3$式Ｆ 点$R$の$x$座標だけを$2$倍した点が$Q$なので、
$\left\{\begin{array}{l}2a=x\\b=y\end{array}\right.$式Ｇ である。

式Ｇを
$2a=x$式Ｈ
$a=\displaystyle \frac{x}{2}$式Ｉ
$b=y$
と変形して、式Ｆに代入すると、
$y=2\displaystyle \cdot\frac{x}{2}+3$式Ｊ
より
$y=x+3$
ができる。
これが求める軌跡で、$y=2x+3$を、$y$軸を中心として$x$軸方向に$2$倍したものだ。

解答$y=x+3$