単元に分類できないトピック：複数単元を含むものグラフの移動(1)

例題

$y=2^{x}$を次のように移動や変形したものをグラフ①～⑧とする。

① $x$軸方向に$1$平行移動

② $y$軸方向に$1$平行移動

③ $y$軸に関して対称移動

④ $x$軸に関して対称移動

⑤ $y$軸を中心として$x$軸方向に$2$倍に拡大

⑥ $x$軸を中心として$y$軸方向に$2$倍に拡大

⑦ $y$軸を中心として$x$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}$に縮小

⑧ $x$軸を中心として$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}$に縮小

このとき、同じグラフになる組合せを答えなさい。

アドバイス

まず最初にグラフの移動や拡大・縮小について復習しておこう。

復習

$y=f(x)$のグラフの式の

平行移動 $x$に$x-p$を代入
→グラフは$x$軸方向に$p$平行移動 $y$に$y-q$を代入
→グラフは$y$軸方向に$q$平行移動対称移動 $x$に$-x$を代入
→グラフは$y$軸に関して対称移動 $y$に$-y$を代入
→グラフは$x$軸に関して対称移動拡大 $x$に$\displaystyle \frac{x}{a}$を代入
→グラフは$y$軸を中心として$x$軸方向に$a$倍に拡大 $y$に$\displaystyle \frac{y}{b}$を代入
→グラフは$x$軸を中心として$y$軸方向に$b$倍に拡大縮小 $x$に$ax$を代入
→グラフは$y$軸を中心として$x$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{a}$倍に縮小 $y$に$by$を代入
→グラフは$x$軸を中心として$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{b}$倍に縮小

である。

復習の「拡大」と「縮小」は同じことを言いかえているだけなので、片方憶えておけば大丈夫。

解説

この問題はグラフがなくても解けるけど、ついでだから練習に描いておこう。
移動・変形前の$y=2^{x}$のグラフは次のようになる。

このグラフを、復習の方法で移動・変形してゆこう。

① $x$軸方向に$1$平行移動

$y=2^{x}$の$x$に$x-1$を代入すると、
$y=2^{x-1}$
となるので、①のグラフは
$y=2^{x-1}$式①
である。

グラフはこんな感じだ。

② $y$軸方向に$1$平行移動

$y=2^{x}$の$y$に$y-1$を代入すると、
$y-1=2^{x}$
$y=2^{x}+1$
となるので、②のグラフは
$y=2^{x}+1$式②
である。

グラフはこんな感じだ。

③ $y$軸に関して対称移動

$y=2^{x}$の$x$に$-x$を代入すると、
$y=2^{-x}$
$y$$=(2^{-1})^{x}$
$y$$=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$
となるので、③のグラフは
$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$式③
である。

グラフはこんな感じだ。

④ $x$軸に関して対称移動

$y=2^{x}$の$y$に$-y$を代入すると、
$-y=2^{x}$
$y=-2^{x}$
となるので、④のグラフは
$y=-2^{x}$式④
である。

グラフはこんな感じだ。

アドバイス

$y=(-2)^{x}$とは違うので注意。

⑤ $x$軸方向に$2$倍に拡大

$y=2^{x}$の$x$に$\displaystyle \frac{x}{2}$を代入すると、
$y=2^{\frac{x}{2}}$
$y$$=\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{x}$
$y$$=\sqrt{2}^{x}$
となるので、⑤のグラフは
$y=\sqrt{2}^{x}$式⑤
である。

グラフはこんな感じだ。