お薦めの計算方法

解の公式より、
$x={\displaystyle \frac{15\pm \sqrt{{15}^2-4\cdot 1\cdot 18}}{2}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm \sqrt{(3\cdot 5{)}^2-4\cdot 2\cdot 3^2}}{2}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm \sqrt{3^2(5^2-4\cdot 2)}}{2}}$
ルートの中を因数分解した。 $x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm 3\sqrt{25-8}}{2}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}}$
である。

解答$x={\displaystyle \frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}}$

やってはいけない計算方法

解の公式より、
$x={\displaystyle \frac{15\pm \sqrt{{15}^2-4\cdot 1\cdot 18}}{2}}$
ルートの中をとりあえず展開するひとは多いけど、とりあえず展開は絶対ダメ。 $x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm \sqrt{225-72}}{2}}$
で、とりあえず展開すると、でかい数になっちゃった。次は引き算するしかないよね。 $x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm \sqrt{153}}{2}}$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm \sqrt{3^2\cdot 17}}{2}}$
$153$を$3^2$で割った。かけて割るって、無駄だよね。割りきれる数も見つけないといけなくなるし。
面倒なことになった理由は、最初に展開したから。
もう一度言うけど、とりあえず展開は絶対ダメ。
$x{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}}$
である。

解答$x={\displaystyle \frac{15\pm 3\sqrt{17}}{2}}$

お薦めの計算方法

式Ａ～Ｃより、求める確率は
${\displaystyle \frac{{}_{20}{\mathrm{C}}_4+{}_{12}{\mathrm{C}}_4}{{}_{52}{\mathrm{C}}_4}}$
${\displaystyle =\frac{\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{\cancel{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}+\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{\cancel{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}}{\frac{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49}{\cancel{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}}}$
分母分子に$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$をかけた。 ${\displaystyle =\frac{{\cancel{20}}^{\cancel{2}}\cdot 19\cdot {\cancel{18}}^{{\cancel{6}}^3}\cdot 17+{\cancel{12}}^{\cancel{4}}\cdot 11\cdot \cancel{10}\cdot 9}{{\cancel{52}}^{13}\cdot {\cancel{51}}^{17}\cdot {\cancel{50}}^5\cdot 49}}$
約分した。分子がたし算になっているので、$+$の前と後、両方約分するのを忘れずに。 $={\displaystyle \frac{19\cdot 3\cdot 17+11\cdot 9}{13\cdot 17\cdot 5\cdot 49}}$
$={\displaystyle \frac{3(19\cdot 17+11\cdot 3)}{13\cdot 17\cdot 5\cdot 49}}$
共通因数でくくった。これをしておかないと、後の約分の確認が面倒になる。 $={\displaystyle \frac{3\cdot 356}{13\cdot 17\cdot 5\cdot 49}}$
分母の４つの数は、いずれも$3$で割り切れない。なので、これ以上約分できないかの確認は、$356$が$13$，$17$，$7$で割れるかを確認するだけで済む。 $={\displaystyle \frac{1068}{54145}}$
である。

解答${\displaystyle \frac{1068}{54145}}$

やってはいけない計算方法

式Ａより、４枚すべて偶数である場合の数は、
${}_{20}{\mathrm{C}}_4$
${\displaystyle =\frac{{\cancel{20}}^5\cdot 19\cdot {\cancel{18}}^3\cdot 17}{\cancel{4}\cdot \cancel{3\cdot 2}\cdot 1}}$
$=5\cdot 19\cdot 3\cdot 17$式Ａ'
$=4845$
となるので、$4845$通り。
「${}_{20}{\mathrm{C}}_4$通り」よりも、「$4845$通り」の方が何となく分かりやすそうな気がするから、とりあえず計算してみるひとも多いと思う。
でも、とりあえず計算はダメ。特に確率の問題は、必要がない限り部分的にちまちま計算してはいけない。後で面倒なことになりがちだ。
以下の${}_{12}{\mathrm{C}}_4$と${}_{52}{\mathrm{C}}_4$にも同じことが言える。

式Ｂより、４枚すべて絵札である場合の数は、
${}_{12}{\mathrm{C}}_4$
${\displaystyle =\frac{\cancel{12}\cdot 11\cdot {\cancel{10}}^5\cdot 9}{\cancel{4\cdot 3}\cdot \cancel{2}\cdot 1}}$
$=11\cdot 5\cdot 9$式Ｂ'
$=495$
となるので、$495$通り。

式Ｃより、全体の場合の数は、
${}_{52}{\mathrm{C}}_4$
${\displaystyle =\frac{{\cancel{52}}^{13}\cdot {\cancel{51}}^{17}\cdot {\cancel{50}}^{25}\cdot 49}{\cancel{4}\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{2}\cdot 1}}$
$=13\cdot 17\cdot 25\cdot 49$式Ｃ'
$=270725$
となるので、$270725$通り。

以上より、求める確率は
${\displaystyle \frac{4845+495}{270725}}$
$={\displaystyle \frac{5340}{270725}}$
部分的に計算したから、分母も分子も大きな数の分数ができた。これを約分してゆくわけだけど、分母分子を割りきれる数を探さないといけない。 $={\displaystyle \frac{1068}{54145}}$
分母分子を$5$で割ったけど、これって式Ａ'～式Ｃ'の赤い部分のことだよね。結局、式Ａ'～式Ｃ'で$5$をかけて、同じ$5$で割り算して約分したことになる。時間の無駄だし、無駄な計算は計算間違いのもとになる。また、これ以上約分できないかを確認するのも大変だ。
こんなことになった理由は、${}_{20}{\mathrm{C}}_4$，${}_{12}{\mathrm{C}}_4$，${}_{52}{\mathrm{C}}_4$を先に計算しちゃったから。
もう一度言うけど、必要がない限り部分的にちまちま計算してはいけない。
である。

解答${\displaystyle \frac{1068}{54145}}$

お薦めの計算方法

${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k^3+k^2+k)}$
$={\{\frac{1}{2}n(n+1)\}}^2+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$
$={\displaystyle \frac{1}{4}\{n(n+1){\}}^2+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)}$
$={\displaystyle \frac{3}{12}\{n(n+1){\}}^2+\frac{2}{12}n(n+1)(2n+1)+\frac{6}{12}n(n+1)}$
通分した。 $={\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)\{3n(n+1)+2(2n+1)+6\}}$
共通因数でくくった。 $={\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+3n+4n+2+6)}$
$={\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+7n+8)}$
となる。

解答${\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+7n+8)}$

やってはいけない計算方法

${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k^3+k^2+k)}$
$={\{\frac{1}{2}n(n+1)\}}^2+\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$
$={\displaystyle \frac{1}{4}{n}^4+\frac{1}{2}{n}^3+\frac{1}{4}{n}^2+\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n}$
とりあえず展開した。でも、とりあえず展開は、後で計算が面倒になるから絶対ダメ。 $={\displaystyle \frac{1}{4}{n}^4+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})n^3+(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2})n^2+(\frac{1}{6}+\frac{1}{2})n}$
$={\displaystyle \frac{1}{4}{n}^4+\frac{5}{6}{n}^3+\frac{5}{4}{n}^2+\frac{2}{3}n}$
$={\displaystyle \frac{3}{12}{n}^4+\frac{10}{12}{n}^3+\frac{15}{12}{n}^2+\frac{8}{12}n}$
通分した。 $={\displaystyle \frac{1}{12}n(3n^3+10n^2+15n+8)}$
共通因数でくくった。 $={\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+7n+8)}$
$3n^3+10n^2+15n+8$の$n$に$-1$を代入すると$0$になるので、$3n^3+10n^2+15n+8$は$n+1$で割り切れる。
三次式の因数分解をするハメになった理由は、先に展開しちゃったから。
しつこく言うけど、とりあえず展開は絶対ダメ。
となる。

解答${\displaystyle \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+7n+8)}$