数学Ａ：場合の数と確率大学入試センター試験 2008年追試数学ⅠＡ第４問解説

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その場合は、こちらのページをご覧ください。

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二次関数と確率をからめた問題が、過去何度か出題されている。
と言っても、二次関数の部分はぜんぜん難しくないから大丈夫。

(1)

$y = x^{2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $a - b$ 平行移動するので、移動後のグラフ $G$ の
頂点の座標は
$(a, a - b)$ 式Ａ式は
$y = (x - a)^{2} + (a - b)$ $y$ 切片は
$(0 - a)^{2} + (a - b) = a^{2} + a - b$
$(0 - a)^{2} + (a - b)$ $= a (a + 1) - b$ 式Ｂとなる。

まず、得点についてのルールを確認しよう。

$y = x^{2}$ を平行移動したグラフは下に凸の放物線なので、グラフで考えると
図Ａのとき０点図Ｂまたは図Ｃのとき１点図Ｄのとき２点といえる。

図の固定

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$a$ はさいころの目なので、必ず正の数。
つまり、グラフは必ず $x$ 軸の正の方向に移動する。
なので、図Ｅのような場合は起こらないので考えなくてよい。

このことから、

表の固定

表Ｆ

		頂点の $y$ 座標
		負	$0$	正
グラフの $y$ 切片	$0$ 以下		１点	０点
グラフの $y$ 切片	正	２点		０点

であることが分かる。

表Ｆを式Ａ，式Ｂを使って $a$ ， $b$ で表すと、表Ｇができる。

詳しく

式Ａより、頂点の $y$ 座標が
負になるのは、
$a - b < 0$ より、
$a < b$ のとき $0$ になるのは、
$a - b = 0$ より、
$a = b$ のとき正になるのは、
$a - b > 0$ より、
$a > b$ のときである。

また、グラフの $y$ 切片が
$0$ 以下になるのは、
$a (a + 1) - b ≦ 0$ より、
$a (a + 1) ≦ b$ のとき正になるのは、
$a (a + 1) - b > 0$ より、
$a (a + 1) > b$ のときである。

表の固定

表Ｇ

	$a < b$	$a = b$	$a > b$
$a (a + 1) ≦ b$		１点	０点
$a (a + 1) > b$	２点	１点	０点

表Ｇより、
$a > b$ のとき、得点は０点 $a = b$ のとき、得点は１点である。

解答ア：０, イ：１

(2)(3)

PCでFirefoxをお使いの場合、表Ｈ～表Ｊが表示されないことがあります。
その場合、Firefoxのウインドウ幅を変えれば表示されるようになると思います。

表Ｇをもうちょっと分かりやすくしよう。
さいころを２個投げるので、目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通り。
これを６行 $\times$ ６列の表にする。

まず、 $a$ と $b$ の大小関係から。
$a = b$ の場合を赤くすると、表Ｈができる。

表の固定

表Ｈ

		小（ $b$ ）
		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
大（ $a$ ）	$1$
	$2$
	$3$
	$4$
	$5$
	$6$

$a = b$ のとき１点， $a > b$ のとき０点なので、
表Ｈの赤いマスは１点赤いマスより左、つまり青いマスの部分は０点だ。

赤いマスより右、つまり黄色いマスのときは、
$a (a + 1) ≦ b$ のとき、１点 $a (a + 1) > b$ のとき、２点だけど、考えるよりもやってみた方が早い。
どうせ黄色いマスは15個しかないし。

まず $a (a + 1)$ を計算して、 $b$ と比較すると、図Ｉのようになる。

表中の
×の部分は $a (a + 1) ≦ b$ なので、１点 ○の部分は $a (a + 1) > b$ なので、２点だ。

表の固定

表Ｉ

			小（ $b$ ）
		$a (a + 1)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
大（ $a$ ）	$1$	$2$		×	×	×	×	×
	$2$	$6$			○	○	○	×
	$3$	$12$				○	○	○
	$4$	$20$					○	○
	$5$	$30$						○
	$6$	$42$

表Ｉを見やすく整理すると、表Ｊになる。

表の固定

表Ｊ

		小（ $b$ ）
		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
大（ $a$ ）	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
	$2$	$0$	$1$	$2$	$2$	$2$	$1$
	$3$	$0$	$0$	$1$	$2$	$2$	$2$
	$4$	$0$	$0$	$0$	$1$	$2$	$2$
	$5$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$2$
	$6$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

それから、確認だけど、表の $36$ 個のマスは同じ確率で起こる。

アドバイス

考え方を詳しく説明したので、長くなってしまった。
ここでは説明のために表をたくさん書いたけど、試験本番では表Ｈ～表Ｊを分けて書く必要はない。

(2)

表Ｊを見ると、 $a = 1$ の行には１点のマスが６個。
なので、６通り。

解答ウ：６

同様に、 $a = 2$ の行には０点のマスが１個。
なので、１通り。

解答エ：１

また、１点のマスは２個。
なので、２通り。

解答オ：２

(3)

表Ｊのマスの数は全部で
$6 \times 6 = 36$ 個
そのうち、
０点のマスは $15$ 個
なので、０点である確率は
$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$
である。

解答カ：５, キ：１, ク：２

また、
１点のマスは $12$ 個
なので、１点である確率は
$\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
である。

解答ケ：１, コ：３

アドバイス

次に問われている期待値は、今の教育課程からは外れている。
一応解説は書いておくけど、読み飛ばしてもらってかまわない。

表Ｊの全てのマスは同じ確率で起こるので、得点の期待値は表Ｊのすべての数の平均値と等しい。
表中、

	０点のマスは $15$ 個
	１点のマスは $12$ 個
	２点のマスは $9$ 個

なので、平均値は
$\begin{aligned} \frac{0 \times 15 + 1 \times 12^{2} + 2 \times 9^{3}}{36^{6}} & = \frac{2 + 3}{6} \\ = \frac{5}{6} \end{aligned}$ である。

解答サ：５, シ：６