二次関数と確率をからめた問題が、過去何度か出題されている。
と言っても、二次関数の部分はぜんぜん難しくないから大丈夫。

ということで、式Ａの符号を考える。
けれど、分母の
$a$
は必ず正だから、分子の
$2-b$
の符号がそのまま式Ａの符号、つまりグラフの頂点の$y$座標の符号だ。

$b$は小さい方のさいころの目だから、$1\leqq b\leqq 6$の整数。
なので、式Ｂとあわせて、さいころの目が

	$1$のとき      $2-b>0$なので、共有点は０個
	$2$のとき      $2-b=0$なので、共有点は１個
	$3,4,5,6$のとき      $2-b<0$なので、共有点は２個

とかける。

よって、共有点は

	０個である確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$	式Ｃ
	１個である確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$
	２個である確率は${\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{3}}$

となる。

解答タ：１, チ：６, ツ：１, テ：６, ト：２, ナ：３

アドバイス

次に問われている期待値は、今の教育課程からは外れている。
一応解説は書いておくけど、読み飛ばしてもらってかまわない。

式Ｃより、期待値は
$0{\displaystyle \times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{4}{6}}$
とかける。

これを計算すると、
${\displaystyle \frac{1+2\times 4}{6}=\frac{9}{6}}$
${\displaystyle \frac{1+2\times 4}{6}}$${\displaystyle =\frac{3}{2}}$
となる。

解答ニ：３, ヌ：２

共有点の$x$座標が整数なので、
グラフ$C$の式に$y=0$を代入した
$x^2-{\displaystyle \frac{b-2}{a}=0}$式Ｄ
の解が整数であればよい。

つまり、式Ｄを変形した
$x^2={\displaystyle \frac{b-2}{a}}$
の右辺の
${\displaystyle \frac{b-2}{a}}$
が整数の２乗になればよい。

ということで、表を書く。
$b=1$のときには共有点はないので$2\leqq b$のときだけ考えるんだけど、$b=1$のときもマスだけは作っておく方がお勧めだ。

まず、$b-2$の部分を計算すると、表Ａができる。

この$b-2$を$a$で割ると、表Ｂのようになる。

表中、-は共有点がない場合、空欄は${\displaystyle \frac{b-2}{a}}$が分数になる場合である。
分数になる場合は明らかに不適なので、計算しなかった。

表Ｂより、${\displaystyle \frac{b-2}{a}}$が整数の２乗になるのは、赤いマスの部分で$11$通り。
マスの数は全部で$36$あって、すべて同じ確率で起こる。
よって、求める確率は
${\displaystyle \frac{11}{36}}$
である。

解答ネ：１, ノ：１, ハ：３, ヒ：６