数学Ａ：場合の数と確率条件付き確率の意味

はじめに

大学入学共通テストでよく出題される条件付き確率だけれど、意味がよく分からないって人もいるようなので、基本的なところを説明しておこう。

まず復習をしておくと、条件付き確率の意味は

復習

事象 $A$ が起こったときにが事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A} (B)$ とは、 $A$ が起こった場合を全事象と考えて、その中で $B$ が起こる確率のことである。

だった。
これではイメージがつかみにくいので、例を挙げて解説する。

例題１

例題

１～12の数字が１つずつ書かれた10枚のカードがある。この中から無作為にカードを１枚選ぶ。
選ばれたカードに書かれた数字が素数のとき、それが12の約数である条件付き確率を求めなさい。

解説

$1$ ～ $12$ の数字から素数と $12$ の約数を探すと、図Ａのようになる。

図の固定

この問題で上の復習の事象 $A$ にあたるのは素数の場合。
図Ａでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。

上の復習の事象 $B$ にあたるのは $12$ の約数の場合。
図Ａでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤文字の部分だ。

よって、求める条件付き確率は、図Ａの
緑の部分を全事象としたときの赤文字になる確率であるといえる。

また、全ての数字は同じ確率で選ばれる。

以上より、求める条件付き確率は、
$\frac{赤文字の数}{緑の部分の数字の数} = \frac{2}{5}$
である。

解答 $\frac{2}{5}$

例題２

例題

１個のさいころを２回投げて、１回目に出た目を $a$ ，２回目に出た目を $b$ とする。
$a < b$ のとき、 $a + b ≦ 4$ である条件付き確率を求めなさい。

解説

さいころを２回投げるので、目の出かたの場合の数は $6 \times 6 = 36$ 通りで、表にすると表Ｂのようになる。

表の固定

この問題で、上の復習の事象 $A$ にあたるのは $a < b$ の場合。
表Ｂでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。

上の復習の事象 $B$ にあたるのは $a + b ≦ 4$ である場合。
表Ｂでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤丸の部分だ。

よって、求める条件付き確率は、表Ｂの
緑の部分を全事象としたときの赤丸になる確率であるといえる。

また、表Ｂの全てのマスは同じ確率で起こる。

以上より、求める条件付き確率は、
$\frac{赤丸の数}{緑のマスの数} = \frac{2}{15}$
である。

解答 $\frac{2}{15}$

例題３

例題

Ａ，Ｂの２組でテストをしたところ、得点の分布は図のようになった。
この２クラスの生徒から一人選ぶ。
選ばれた生徒の得点が80点以上のとき、Ａ組の生徒である条件付き確率を求めなさい。

解説

図の固定

この問題で、上の復習の事象 $A$ にあたるのは、選ばれたのが得点が80点以上の生徒の場合。
図Ｃでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。

上の復習の事象 $B$ にあたるのは、選ばれたのがＡ組の生徒の場合。
図Ｃでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤で囲んだ部分だ。

よって、求める条件付き確率は、図Ｃの
緑の部分を全事象としたときの赤で囲んだ部分になる確率であるといえる。

以上より、求める条件付き確率は、
$\frac{赤で囲んだ部分の人数}{緑の部分の人数} = \frac{5}{9}$
である。

解答 $\frac{5}{9}$

例題４

例題

男子と女子の人数比が $2 : 3$ のクラスで文化祭の出し物のアンケートをしたところ、男子の $\frac{1}{2}$ と女子の $\frac{1}{6}$ がお化け屋敷と回答した。
このクラスの生徒から一人選ぶ。
選ばれたのがお化け屋敷と回答した生徒である場合、男子である条件付き確率を求めなさい。

解説

例題の文章を表に整理すると、表Ｄができる。

表の固定

表Ｄ

	男子 $\frac{2}{5}$	女子 $\frac{3}{5}$
お化け屋敷	$\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{10}$	$\frac{3}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{10}$
その他	略	略

この問題で、上の復習の事象 $A$ にあたるのは、選ばれたのがお化け屋敷と回答した生徒の場合。
表Ｄでいうと、緑の部分だ。
この緑の部分を全事象として、それ以外の場合（グレーの部分）は存在しないと考える。

上の復習の事象 $B$ にあたるのは、選ばれたのが男子の場合。
表Ｄでいうと、オレンジで囲んだ部分。
だけど、グレーの部分は存在しないと考えるから、使うのは赤文字の部分だ。

よって、求める条件付き確率は、表Ｄの
緑の部分を全事象としたときの赤文字の部分になる確率であるといえる。

以上より、求める条件付き確率は、
$\frac{\frac{2}{10}}{\frac{2}{10} + \frac{1}{10}} = \frac{2}{3}$
である。

解答 $\frac{2}{3}$

アドバイス

条件付き確率のイメージはつかめただろうか。

参考書なんかには

復習

事象 $A$ が起こる確率を $P (A)$ ，事象 $A$ と事象 $B$ の両方が起こる確率を $P (A \cap B)$ とするとき、 $A$ が起こったときに $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A} (B)$ は、
$P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$

って書いてあることが多いと思う。

もちろんこれは正しいし、結局は上の解説と同じことを言っているんだけど、上の解説のように意味から考えた方がシンプルに解けることも多い。
どちらの方法も使えるようにしておこう。



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