[1] 正７角形ABCDEFGの７個の頂点から３つを選んで三角形をつくる。このとき、
(1) 三角形は全部で何個できるか答えなさい。
(2) (1)の三角形のうち、合同でない三角形は何種類で、これぞれ何個できるか答えなさい。

[2] 立方体ABCD-EFGHの８個の頂点から３つを選んで三角形をつくる。このとき、
(1) 三角形は全部で何個できるか答えなさい。
(2) (1)の三角形のうち、合同でない三角形は何種類で、それぞれ何個できるか答えなさい。

この問題のメインは、(2)の三角形の種類だ。やみくもに考えると、きっと混乱する。なので、ルールを決めよう。

おすすめの方法は、外接する図形（この場合は正７角形）と共有する辺の数ごとに考えるやり方だ。

外接する図形と三角形が辺を共有する方法は、外接するのが特殊な図形でない限り、
２辺を共有する １辺を共有する 辺を共有しない の３パターン。
このパターンごとに考えると、楽に数えられる。

１辺を共有するパターン

図の固定

次は、正７角形と１辺を共有する場合。
辺ABを共有するとき、三角形の２つの頂点はA，Bなので、３つめの頂点はA，B以外から選ぶことになる。
でも、CやFを３つめの頂点にしてしまうと、正７角形と２辺を共有するからダメ。
よって、できる三角形は図Ｂの３つ。

３つの三角形のうち、赤とオレンジの三角形は、ひっくり返っているけど合同。
なので、１辺を共有するものは、
△ABDと合同な三角形 △ABEと合同な三角形 の２種類できることになる。

△ABDと合同な三角形は、ひとつの辺につき２個できるから、
$2\times 7=14$
で$14$個できる。

△ABEと合同な三角形は、ひとつの辺につき１個できるから、
$1\times 7=7$
で$7$個できる。

辺を共有しないパターン

図の固定

このパターンが一番イメージがつかみにくいかも。

正７角形の７つの頂点から３つ選ぶのだけど、１つめにAを選ぶと、B，Gは選べなくなる。選んじゃうと、三角形と正７角形で辺が共有されちゃうから。
２つめにCを選ぶと、Dも選べなくなるから、３つめはE，Fのどちらか。
で、三角形が２個できる。（図Ｃ）
この２個の三角形は合同。

１つめにA，２つめにDを選ぶと△ADFができるけど、これも合同。

なので、辺を共有しない三角形は
△ACEと合同な三角形 の１種類しかできない。

この三角形の数を数えるのは結構面倒なので、全体から辺を共有するものを引いて求めよう。
(1)より、三角形は全部で$35$個。
これまでの解説から、
２辺を共有するものが$7$個 １辺を共有するものが$14+7$個 なので、辺を共有しないものは
$35-(7+14+7)=7$
より、$7$個できる。

辺を共有しないパターン

図の固定

立方体の８つの頂点から３つ選ぶのだけど、１つめにAを選ぶと、B，D，Eは選べなくなる。選んじゃうと、三角形と立方体で辺が共有されちゃうから。
２つめにCを選ぶと、Gも選べなくなるから、３つめはF，Hのどちらか。
で、ACを使った場合、三角形は２個できる。（図Ｆ）
この２個の三角形は合同な正三角形。
これ以外の形の三角形は作れない。

なので、辺を共有しない三角形は
△ACFと合同な正三角形 の１種類しかできない。

この三角形の数を数えるのは結構面倒なので、全体から辺を共有するものを引いて求めよう。
(1)より、三角形は全部で$56$個。
これまでの解説から、
２辺を共有するものが$24$個 １辺を共有するものが$24$個 なので、辺を共有しないものは
$56-(24+24)=8$
より、$8$個できる。