２個の円がともに第５段にあるので、図Ａの赤い５個の円から２個選ばれればよい。
５個から２個選ぶので、起こってほしい場合の数は
${}_{5}\mathrm{C}_{2}$式Ａ
である。

また、すべての場合の数は、15個から２個選ぶので、
${}_{15}\mathrm{C}_{2}$式Ｂ
である。

よって、求める確率は
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}=\frac{\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}}{\frac{15\cdot 14}{2\cdot 1}}$
        $=\displaystyle \frac{2}{3\cdot 7}$
        $=\displaystyle \frac{2}{21}$
となる。

解答サ：２, シ：２, ス：１

(1)の流れで
２つの円がともに第２段にあるとき ２つの円がともに第３段にあるとき ２つの円がともに第４段にあるとき の場合の数を求めて、和を求めて確率を求めよう。

２つの円がともに第２段にあるとき、
②，③から２個選ぶので、場合の数は
${}_{2}\mathrm{C}_{2}$ ２つの円がともに第３段にあるとき、
④～⑥から２個選ぶので、場合の数は
${}_{3}\mathrm{C}_{2}$ ２つの円がともに第４段にあるとき、
⑦～⑩から２個選ぶので、場合の数は
${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ ２つの円がともに第５段にあるとき、
場合の数は式Ａの
${}_{5}\mathrm{C}_{2}$ なので、２個の円が同じ段にある場合の数は
${}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{5}\mathrm{C}_{2}$
である。

よって、求める確率は、これを式Ｂで割って、
$\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{5}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}$
$=\displaystyle \frac{\frac{2\cdot 1}{2\cdot 1}+\frac{3\cdot 2}{2\cdot 1}+\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}+\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}}{\frac{15\cdot 14}{2\cdot 1}}$
$=\displaystyle \frac{1+3+2\cdot 3+5\cdot 2}{15\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{10+5\cdot 2}{15\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{2+2}{3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{4}{21}$
となる。

解答セ：４, ソ：２, タ：１

あれこれ考えるよりやってみた方が早い。
接している円を青い線でつないで、図Ｂをつくってみた。

２個の円が接するのは、図Ｂの青い線でつないだ２個の円が選ばれた場合。

つまり、２個の円が接する場合の数は、青い線の数だけある。

この青い線をそのまま数えてもいいんだけど、図Ｃのように考えると、
青い線の数は緑の三角形の辺の数と等しい ことが分かる。
つまり、
緑の三角形の数$\times 3$
だ。

緑の三角形の数は、頂角、つまり図Ｃの赤い点の数を数えると早い。
頂角は①～⑩の円の中に１個ずつあるので、$10$個。
なので、緑の三角形も$10$個。
それを$3$倍して、辺の数は$30$。
よって、図Ｂの青い線の数も$30$なので、２個の円が接する場合の数は$30$だ。

以上より、求める確率は、$30$を式Ｂで割った
$\displaystyle \frac{30}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}=\frac{30}{\frac{15\cdot 14}{2\cdot 1}}$
         $=\displaystyle \frac{2}{7}$
である。

解答ナ：２, ニ：７