$G$の頂点の$y$座標は$4(a+1{)}^2$。
$G$と$x$軸との交点を$\alpha ,\beta$（$\alpha <\beta$）とすると、２点間の距離は$\beta -\alpha$。
これが
$\beta -\alpha =4(a+1{)}^2\times 2$式Ａ
となる$a$を求める。

116
放物線がx軸から切り取る線分の長さ

$G$の式は
$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}(x+5a+4)(x-3a-4)}$
なので、$G$と$x$軸の２つの交点の$x$座標は
$x+5a+4=0,x-3a-4=0$
より、
$x=-5a-4,3a+4$
である。
ただし、問題の条件より、$G$と$x$軸は相異なる２点で交わるので、
$-5a-4\ne 3a+4$
$a\ne -1$式Ｂ
でなければならない。

32
数直線と絶対値

これを式Ａに代入して、
$|(3a+4)-(-5a-4)|=4(a+1{)}^2\times 2$
$8|a+1|=4(a+1{)}^2\times 2$
$|a+1|=(a+1{)}^2$

$-5a-4$と$3a+4$のどちらが大きいか分からないので、絶対値がついている。
場合分けして絶対値をはずしてもいいんだけれど、面倒だし、左辺と右辺が同じ形なので両辺を２乗してみよう。
$(a+1{)}^2=(a+1{)}^4$
$(a+1{)}^2=A$とおくと、
$A=A^2$
$A^2-A=0$
$A(A-1)=0$
$A=0,1$
$A$をもとにもどして、
$(a+1{)}^2=0,1$

$(a+1{)}^2=0$のとき、
$a=-1$

$(a+1{)}^2=1$のとき、
$a^2+2a+1=1$
$a(a+2)=0$
$a=0,-2$

以上より、
$a=-2,-1,0$
だけど、式Ｂより$a\ne -1$なので、
$a=-2,0$
である。

解答シ：－, ス：２, セ：０