(1) 円$\mathrm{O}$の半径
(2) $\mathrm{AD}$
(3) $\mathrm{DE}$
(4) $\mathrm{DF}$，$\mathrm{EF}$
(5) $\tan \mathrm{\angle }\mathrm{BCE}$

センター試験では、時々「簡単すぎて解けない」っていうことが起こる。
例えば、次の例を見てもらいたい。

例

(i) $\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}={90}^{\circ }$の直角三角形$\mathrm{ABC}$において、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$を求めなさい。
(ii) $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}={90}^{\circ }$，${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{3}{4}}$の直角三角形$\mathrm{ABC}$において、$\mathrm{BC}$を求めなさい。

(i) の三角形$\mathrm{ABC}$は図Ａのようになる。

${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$
なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{2}{3}}$
である。

また、(ii) の三角形$\mathrm{ABC}$は図Ｂのようになる。

${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$
なので、
${\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{4}}$
$\mathrm{BC}=3$
である。

目まいがするほど基本的で簡単な問題だけど、実はセンター試験には時々このタイプの問題が出る。で、試験本番でテンパってたりすると、簡単すぎて解き方に気づかなかったりする。冗談みたいだけど本当の話だ。
個人的に印象に残っているのが、2010年度本試・数IAの第３問だ。当時の私の生徒にも、簡単すぎて解けなかったり、時間を取られたりした受験生がいた。
例題に載せたのは、その問題から必要な部分を抜き出したものだ。図を描きながら解いてみてほしい。

内接円の半径を$r$とすると、$r$が入っている公式は
$S={\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)}$式Ａ
（$S$は三角形の面積）
しかない。

三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は、${\displaystyle \frac{1}{2}\times }$底辺$\times$高さより、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3}$
なので、式Ａは
${\displaystyle \frac{1}{2}r(4+5+3)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3}$
となる。

これを解いて、
$r=1$
である。

解答$1$

図Ｅの赤い直角三角形に三平方の定理を使って、
${\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BD}}^2$

青い四角形は正方形なので、
$\mathrm{BD}=1$

よって、
${\mathrm{AD}}^2=3^2+1^2$
${\mathrm{AD}}^2$$=10$
$0<\mathrm{AD}$なので、
$\mathrm{AD}=\sqrt{10}$
である。

解答$\sqrt{10}$

ちょっとややこしくなってきたので、これまでに分かったことを図Ｆに整理した。

点$\mathrm{Q}$は、円$\mathrm{O}$と$\mathrm{AB}$の接点である。

この状態で$\mathrm{DE}$を問われているから、方べきの定理だ、

図中の赤い線に方べきの定理を使って、
$\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}={\mathrm{AQ}}^2$
より、
$\sqrt{10}\mathrm{AE}=2^2$
${\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{2^2}{\sqrt{10}}}$
${\displaystyle \mathrm{AE}}$${\displaystyle =\frac{2^2\sqrt{10}}{10}}$
${\displaystyle \mathrm{AE}}$${\displaystyle =\frac{2\sqrt{10}}{5}}$

$\mathrm{DE}=\mathrm{AD}-\mathrm{AE}$なので、
${\displaystyle \mathrm{DE}=\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{10}}{5}}$
${\displaystyle \mathrm{DE}}$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{10}}{5}}$
となる。

解答${\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{5}}$

(3)で分かったことを書き込むと図Ｇができる。

図Ｇを見ると、△$\mathrm{ABD}$∽△$\mathrm{EFD}$で、相似比は
${\displaystyle \sqrt{10}:\frac{3}{5}\sqrt{10}=5:3}$
であることが分かる。

よって、 $\mathrm{DB}:\mathrm{DF}=5:3$
$5\mathrm{DF}=3\cdot 1$
${\displaystyle \mathrm{DF}=\frac{3}{5}}$ $\mathrm{AB}:\mathrm{EF}=5:3$
$5\mathrm{EF}=3\cdot 3$
${\displaystyle \mathrm{EF}=\frac{9}{5}}$ である。

解答${\displaystyle \mathrm{DF}=\frac{3}{5}}$，${\displaystyle \mathrm{EF}=\frac{9}{5}}$

以上から図Ｈができる。

問われているのは、緑の角のタンジェントだ。
直角三角形$\mathrm{CEF}$（赤い三角形）が緑の角を含んでいるので、これを使おう。

$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{BCE}=\tan \mathrm{\angle }\mathrm{FCE}$
${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }\mathrm{BCE}}$${\displaystyle =\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CF}}}$
${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }\mathrm{BCE}}$${\displaystyle =\frac{\frac{9}{5}}{3+\frac{3}{5}}}$
${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }\mathrm{BCE}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$
である。

解答${\displaystyle \frac{1}{2}}$

ポイントは(5)の$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{BCE}$だ。
センター試験本番で精神的に一杯一杯のとき、問題の途中でこんな問いを出されると、簡単すぎて気づかない受験生が意外にいる。
問題を解いているうちに、頭が難しく考える方に行ってしまって、単純なことが見えなくなるのだろう。

このサイトのあちこちに書いてあるけど、センター試験にはひどく難しい問題は出ない。普通に受験勉強をしてきた生徒にとっては、基本問題ばかりだ。
もし解けなければ、それは問題が難しいのではなくて、何かを見落としたりミスをしたりしている可能性が高い。

問題を解いていてつまづいても、慌ててはいけない。
落ち着いて、上を見る。つまり、今まで自分がどう解いてきたかを確認する。
今回の問題であれば、$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{BCE}$を問われる直前に、$\mathrm{DF}$と$\mathrm{EF}$を求めた。
これを用いて図Ｈの緑の角のタンジェントを求めると考えれば、赤い三角形に気づきやすくなる。

上を見ても分からなければ、下を見る。つまり、この先何をしなければいけないかを考える。
それでも分からなければ、とりあえずその問題は置いておいて、他の問題に行こう。
他の問題を解いているうちに思考がリセットされて、見落としていたものが見えるようになることも多い。