ヘロンの公式を使わない場合は、 １.余弦定理でひとつの角の$\cos$を得る ２.${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$を用いて、その角の$\sin$を得る ３.復習の２番目の公式を使って面積を求める という手順になる。

余弦定理より、
${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{7^2+9^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 9}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{49+(9-8)(9+8)}{2\cdot 7\cdot 9}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{49+17}{2\cdot 7\cdot 9}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{66}{2\cdot 7\cdot 9}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{11}{21}}$

${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}+{\cos }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=1$より、
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}+{\left(\frac{11}{21}\right)}^2=1$
${\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=1-{\left(\frac{11}{21}\right)}^2$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{{21}^2-{11}^2}{{21}^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{(21-11)(21+11)}{{21}^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{10\cdot 32}{{21}^2}}$
${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$${\displaystyle =\frac{5\cdot 64}{{21}^2}}$
$0<\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\frac{8}{21}\sqrt{5}}$

三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 9\cdot \frac{8}{21}\sqrt{5}}$
$S$$=12\sqrt{5}$
となる。

解答$12\sqrt{5}$

(1)の面積を求めるのに別解の方法を使っていて、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$か$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BCA}$が分かっていれば、次のような方法もある。

△$\mathrm{ABH}$は$\mathrm{\angle }\mathrm{BHA}={90}^{\circ }$の直角三角形。
よって、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAH}=\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}}$

(1)の別解より、${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAH}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\frac{8}{21}\sqrt{5}}$なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}=\frac{8}{21}\sqrt{5}}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{7}=\frac{8}{21}\sqrt{5}}$
${\displaystyle \mathrm{BH}=\frac{8}{3}\sqrt{5}}$
となる。

解答${\displaystyle \frac{8\sqrt{5}}{3}}$

(1)の面積を求めるのに別解の方法を使っていて、$\mathrm{\angle }\mathrm{BAC}$か$\mathrm{\angle }\mathrm{BCA}$の$\sin$が分かっていれば、正弦定理でも求められる。

正弦定理より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}}$

(1)の別解より、${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\frac{8}{21}\sqrt{5}}$なので、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\frac{8\sqrt{5}}{21}}}$
${\displaystyle \frac{9}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}=\frac{8}{\frac{8\sqrt{5}}{21}}}$
$8{\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{9\cdot 8\sqrt{5}}{21}}$
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{3\sqrt{5}}{7}}$
となる。

解答${\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{7}}$

(1)の別解のように、正弦定理から$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$を求め、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$に変換する方法もあるが、ここでは省略する。

目的が「面積から逆算する」のため、その方法を先に解説した。
しかし、(3)で$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$が分かっているので、この別解のように、一般的には正弦定理を用いて解く。

三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}=2R}$

(3)より${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{3\sqrt{5}}{7}}$なので、
$2R={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\frac{3\sqrt{5}}{7}}}$
$2R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{9}{\frac{3\sqrt{5}}{7}}}$
$R={\displaystyle \frac{9}{\frac{2\cdot 3\sqrt{5}}{7}}}$
$R{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3\cdot 7}{2\sqrt{5}}}$
分母を有理化して、
$R={\displaystyle \frac{21\sqrt{5}}{10}}$
である。

解答${\displaystyle \frac{21\sqrt{5}}{10}}$