ヘロンの公式を使わない場合は、 １.余弦定理でひとつの角の$\cos$を得る ２.$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$を用いて、その角の$\sin$を得る ３.復習の２番目の公式を使って面積を求める という手順になる。

余弦定理より、
$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cos\angle \mathrm{BAC}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}^{2}+\mathrm{A}\mathrm{C}^{2}-\mathrm{B}\mathrm{C}^{2}}{2\cdot \mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{A}\mathrm{C}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{7^{2}+9^{2}-8^{2}}{2\cdot 7\cdot 9}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{49+(9-8)(9+8)}{2\cdot 7\cdot 9}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{49+17}{2\cdot 7\cdot 9}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{66}{2\cdot 7\cdot 9}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{11}{21}$

$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\cos^{2}\angle \mathrm{BAC}=1$より、
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\left(\frac{11}{21}\right)^{2}=1$
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}=1-\left(\frac{11}{21}\right)^{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{21^{2}-11^{2}}{21^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{(21-11)(21+11)}{21^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{10\cdot 32}{21^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 64}{21^{2}}$
$0 \lt \sin\angle \mathrm{BAC}$なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{8}{21}\sqrt{5}$

三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin\angle \mathrm{BAC}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 9\cdot\frac{8}{21}\sqrt{5}$
$S$$=12\sqrt{5}$
となる。

解答$12\sqrt{5}$

(1)の面積を求めるのに別解の方法を使っていて、$\sin\angle \mathrm{BAC}$か$\sin\angle \mathrm{BCA}$が分かっていれば、次のような方法もある。

△$\mathrm{ABH}$は$\angle \mathrm{BHA}=90^{\circ}$の直角三角形。
よって、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAH}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{H}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$

(1)の別解より、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAH}=\sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{8}{21}\sqrt{5}$なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{H}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{8}{21}\sqrt{5}$
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{H}}{7}=\frac{8}{21}\sqrt{5}$
$\displaystyle \mathrm{BH}=\frac{8}{3}\sqrt{5}$
となる。

解答$\displaystyle \frac{8\sqrt{5}}{3}$

(1)の面積を求めるのに別解の方法を使っていて、$\angle \mathrm{BAC}$か$\angle \mathrm{BCA}$の$\sin$が分かっていれば、正弦定理でも求められる。

正弦定理より、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}}$

(1)の別解より、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{8}{21}\sqrt{5}$なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\frac{8\sqrt{5}}{21}}$
$\displaystyle \frac{9}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{8}{\frac{8\sqrt{5}}{21}}$
$8\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{9\cdot 8\sqrt{5}}{21}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$
となる。

解答$\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{7}$

(1)の別解のように、正弦定理から$\cos\angle \mathrm{ABC}$を求め、$\sin\angle \mathrm{ABC}$に変換する方法もあるが、ここでは省略する。

目的が「面積から逆算する」のため、その方法を先に解説した。
しかし、(3)で$\sin\angle \mathrm{ABC}$が分かっているので、この別解のように、一般的には正弦定理を用いて解く。

三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2R$

(3)より$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$なので、
$2R=\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\frac{3\sqrt{5}}{7}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{9}{\frac{3\sqrt{5}}{7}}$
$R=\displaystyle \frac{9}{\frac{2\cdot 3\sqrt{5}}{7}}$
$R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3\cdot 7}{2\sqrt{5}}$
分母を有理化して、
$R=\displaystyle \frac{21\sqrt{5}}{10}$
である。

解答$\displaystyle \frac{21\sqrt{5}}{10}$