対角線の長さと交わる角度から、四角形の面積を求める問題。
一発では求められないので、図Ａで色分けしたような４つの三角形に分けて考えよう。
三角形の面積の公式はいくつかあるけど、ここでは

公式

右図のような三角形の面積を$S$とするとき、

$ S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\theta$ である。

を使う。

説明のために、図Ａのように、
ふたつの対角線の交点を点$\mathrm{O}$，なす角を$\theta$ $\mathrm{AO}$，$\mathrm{BO}$，$\mathrm{CO}$，$\mathrm{DO}$を、それぞれ$a$，$b$，$c$，$d$ とおく。

このとき、
緑の三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\theta$ 青い三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}cd\sin\theta$ とかける。

また、
$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
なので、
オレンジの三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin(180^{\circ}-\theta)$
$=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\theta$ 黄色い三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}ad\sin(180^{\circ}-\theta)$
$=\displaystyle \frac{1}{2}ad\sin\theta$ とかける。

この４つの三角形の面積を合わせて、四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\theta+\frac{1}{2}cd\sin\theta$
            $\displaystyle +\frac{1}{2}bc\sin\theta+\frac{1}{2}ad\sin\theta$式Ａ
となる。

式Ａを因数分解しよう。
各項を共通因数の$\displaystyle \frac{1}{2}$と$\sin\theta$でくくって、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}(ab+bc+cd+ad)\sin\theta$
( )の中をさらに因数分解して、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\{b(a+c)+d(c+a)\}\sin\theta$
$ S$$\displaystyle=\frac{1}{2}(a+c)(b+d)\sin\theta$式Ａ'
だけど、
$a+c=\mathrm{AC}$ $b+d=\mathrm{BD}$ なので、式Ａ'は
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}\sin\theta$式Ａ''
と表せる。

式Ｂの公式は、(2)のような凹四角形（ひとつの角が$180^{\circ}$より大きい四角形）でも使えるけど、念のために確認しておこう。

説明のために、図Ｂのように
対角線$\mathrm{BD}$の延長と対角線$\mathrm{AC}$の交点を点$\mathrm{O}$，なす角を$\theta$ $\mathrm{AO}$，$\mathrm{BD}$，$\mathrm{CO}$，$\mathrm{DO}$を、それぞれ$a$，$b$，$c$，$d$ とおく。

このとき、
緑の三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}a(b+d)\sin\theta$ オレンジの三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}c(b+d)\sin(180^{\circ}-\theta)$
$=\displaystyle \frac{1}{2}c(b+d)\sin\theta$ 黄色い三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}ad\sin\theta$ 青い三角形の面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}cd\sin(180^{\circ}-\theta)$
$=\displaystyle \frac{1}{2}cd\sin\theta$ なので、四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}a(b+d)\sin\theta+\frac{1}{2}c(b+d)\sin\theta$
            $\displaystyle -\frac{1}{2}ad\sin\theta-\frac{1}{2}cd\sin\theta$式Ｃ
となる。

式Ｃをさっきと同じように因数分解する。
各項を共通因数でくくって、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\{a(b+d)+c(b+d)-ad-cd\}\sin\theta$
{ }の中をさらに因数分解して、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\{(a+c)(b+d)-(a+c)d\}\sin\theta$
$ S$$\displaystyle=\frac{1}{2}(a+c)(b+d-d)\sin\theta$
$ S$$\displaystyle=\frac{1}{2}(a+c)b\sin\theta$式Ｃ'
となるけど、
$a+c=\mathrm{AC}$ $b=\mathrm{BD}$ なので、式Ｃ'は
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}\sin\theta$
となって、式Ａ''と同じになった。

以上から、式Ｂの公式は凹四角形でも使えることが分かる。