数学Ⅰ ：図形と計量三角比を単位円で表す

アドバイス

三角比を円で考えることは多いけど、「何で円が出てくるのか分からない」っていう生徒も多い。これが納得できてないと困ったことも起こるので、ここで復習しておこう。

直角三角形と三角比

まず、三角比の定義について復習しよう。

定義

図Ａのように $θ$ が鋭角のときには、
${\begin{cases} \sin θ = \frac{高さ}{斜辺} \\ \cos θ = \frac{底辺}{斜辺} \\ \tan θ = \frac{高さ}{底辺} \end{cases}$ 式Ａ

だった。

例えば $θ = 30^{\circ}$ のときには図Ｂのような直角三角形が考えられるから、
${\begin{cases} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \\ \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{cases}$
だし、図Ｃのような辺の比が $3 : 4 : 5$ の直角三角形のときには、角度を $α^{\circ}$ とすると、

${\begin{cases} \sin α^{\circ} = \frac{3}{5} \\ \cos α^{\circ} = \frac{4}{5} \\ \tan α^{\circ} = \frac{3}{4} \end{cases}$
だ。

三角比の拡張

でも、上の定義は分かりやすいけど不便なことも多い。例えば $90^{\circ}$ 以上や $0^{\circ}$ 以下の三角比は作れないとか。
なので、ちょっと工夫してみる。

図Ｂと図Ｃのの三角形を、斜辺が $1$ になるように縮小してみる。
図Ｂは斜辺が $2$ なので $\frac{1}{2}$ に縮小すればいいから、それぞれの辺を $2$ で割る。

すると、縮小した三角形の
斜辺： $\frac{2}{2} = 1$
高さ： $\frac{1}{2} = \sin 30^{\circ}$
底辺： $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^{\circ}$
となって、図Ｄができる。

同じように図Ｃの三角形の各辺を $5$ で割ると、縮小した三角形の
斜辺： $\frac{5}{5} = 1$
高さ： $\frac{3}{5} = \sin α^{\circ}$
底辺： $\frac{4}{5} = \cos α^{\circ}$
となって、図Ｅができる。

このことから、斜辺が $1$ の直角三角形の
高さ $= \sin$
底辺 $= \cos$
となりそうだけど、考えてみれば当たり前だ。もとの三角形の高さと底辺をそれぞれ斜辺で割るから、結果的に式Ａの計算をしたことになる。
よって、必ず図Ｆのような関係になるといえる。

ここから円がでてくる。

図Ｆの三角形の頂点Ｂを、座標平面の原点におくと、図Ｇのようになる。

斜辺の長さは $1$ なので、頂点Ａは必ず原点中心・半径 $1$ の円（これを単位円という）の周上にある。
頂点Ａは、原点から $x$ 軸方向に $\cos θ$ ， $y$ 軸方向に $\sin θ$ 移動した点だから、座標は
$(\cos θ$ ， $\sin θ)$
になる。

以上より、三角比の新しい定義ができる。

定義

座標平面において、原点から、 $x$ 軸から左回りに $θ$ の角度で引いた半直線（図Ｈの緑の線）と、単位円との交点を考える。
この交点の
$x$ 座標を $\cos θ$ $y$ 座標を $\sin θ$ $\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$ なので、
$\frac{y}{x} =$ 半直線の傾き $= \tan θ$ とする。

新しい定義を使えば、 $90^{\circ}$ 以上や $0^{\circ}$ 以下の三角比も作れるし、三角方程式も三角不等式も図で考えられる。

tanθ

新しい定義が出来たけれど、 $\tan θ$ の $\frac{y}{x} =$ 傾きってのがちょっと使いにくい。
なので、もうちょっと工夫を続けよう。

方法１：直角三角形を縮小して考える

さっきと同じように、直角三角形を縮小して考えてみよう。
さっきは $\sin θ$ ， $\cos θ$ はそれぞれ $\frac{高さ}{斜辺}$ ， $\frac{底辺}{斜辺}$ だったので、分母を $1$ にするために斜辺を $1$ に縮小した。
今度は $\tan θ$ が $\frac{高さ}{底辺}$ なので、底辺が $1$ になるように縮小してみよう。

図Ｂの三角形は底辺が $\sqrt{3}$ なので、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ に縮小すればいいから、それぞれの辺を $\sqrt{3}$ で割る。

すると、縮小した三角形の
底辺： $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$
高さ： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^{\circ}$
斜辺は省略

となって、図Ｉができる。

同じように図Ｃの三角形の各辺を $4$ で割ると、縮小した三角形の
底辺： $\frac{4}{4} = 1$
高さ： $\frac{3}{4} = \tan α^{\circ}$
斜辺は省略
となって、図Ｊができる。

このように、底辺が $1$ の直角三角形の
高さ $= \tan$
となる。

図の固定

図Ｋの三角形の頂点Ｂを、座標平面の原点におくと、図Ｌのようになる。
このとき、点Ａの座標は
$(1$ ， $\tan θ)$
なので、
原点から $θ$ の角度で引いた直線と、直線 $x = 1$ との交点の $y$ 座標が $\tan θ$ となる。

方法２：傾きから考える

図Ｈの緑の直線は、傾きが $\tan θ$ で原点を通るので、式は
$y = (\tan θ) x$ 式Ｂ
である。
$x = 1$ のとき、式Ｂに $x = 1$ を代入して、
$y = \tan θ$
となるから、 $x = 1$ のときの $y$ 座標が $\tan θ$ である。
よって、
原点から $θ$ の角度で引いた直線と、直線 $x = 1$ の交点の $y$ 座標が $\tan θ$ といえる。
当たり前だけど、方法１と同じことが分かった。

まとめ

図Ｈと図Ｌを合わせると図Ｍができる。参考書などで見慣れた図だけど、上で説明したような考えで作られている。この図はよく使うから、ちゃんと理解してほしい。

アドバイス

最後に、よく見る間違いをひとつ。
$90^{\circ} ≦ θ ≦ 180^{\circ}$ の角を考えるとき、図Ｎのように $x = - 1$ のところに直線を引いて、オレンジの点の $y$ 座標を $\tan θ$ にする人がいる。気持ちは分かるけど、これは間違い。
緑の線を右に延ばして、 $x = 1$ との交点の $y$ 座標が $\tan θ$ だ。

図の固定