${90}^{\circ }$の整数倍$\pm \theta$、例えば${90}^{\circ }\pm \theta$や${180}^{\circ }\pm \theta$の三角比は、$\theta$の三角比で表せる。
例題は、ばらばらの角度の三角比を、角度を$\theta$にそろえて計算する問題だ。

私は好きじゃないけど、次のような公式もある。

公式

$\sin ({90}^{\circ }\pm \theta )=\cos \theta$
$\sin ({180}^{\circ }\pm \theta )=\mp \sin \theta$
$\cos ({90}^{\circ }\pm \theta )=\mp \sin \theta$
$\cos ({180}^{\circ }\pm \theta )=-\cos \theta$
（複合同順）

この公式を暗記しておけば例題は解けるんだけど、先に書いたように、私は好きじゃない。どうせ憶えるのなら、英単語のひとつでも憶えた方がいいと思っています。
で、私のお薦めの方法は、憶えずに済む代わりに理解しなきゃいけない。「理解するより憶えた方がいいや」って人は公式を憶えてもらって、この先は読まなくても大丈夫です。

このページで復習したように、三角比は次のように定義できる。

定義

座標平面において、原点から、$x$軸から左回りに$\theta$の角度で引いた半直線（図Ａの緑の線）と、単位円との交点（赤い点）を考える。
この交点の
$x$座標を$\cos \theta$ $y$座標を$\sin \theta$ とする。

この定義の表現を少し変えて、図Ｂにおいて、
青い線の長さを$\sin \theta$ 緑の線の長さを$\cos \theta$ としよう。

でも、単に長さだと、例えば${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$と${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{2}}$のような、正の値と負の値の区別がつかない。
なので、図Ｃのように、$x$軸から下向きの長さと$y$軸から左向きの長さは負の値と考えることにしよう。

例えば図Ｄのようなとき、
$\sin \theta$は青い線の長さだけど、負の値 $\cos \theta$は緑の線の長さだけど、負の値 と考えることにする。

問題の式の
$\sin \theta +$$\sin ({90}^{\circ }-\theta )$
           $+$$\cos ({90}^{\circ }+\theta )$$+$$\cos ({180}^{\circ }-\theta )$式Ａ
は角度がばらばらなので、$\theta$にそろえよう。
角度をそろえるのは、公式ではなくてアドバイスの方法を使う。
慣れてくると頭の中で考えられるようになる。でも、はじめは図を描いて見ながら考えよう。
$\theta$の角度は分からないからどんな図を描いてもいいんだけど、$\theta ={30}^{\circ }$くらいの図を描くと分かりやすい。分かりにくくなるので$\theta ={45}^{\circ }$付近には描かないように。

角度を$\theta$にそろえるので、$\theta$の三角比の確認から。
$\sin \theta$は図Ｅの青い線の長さ $\cos \theta$は図Ｅの緑の線の長さ だ。

ここまで理解したところで、角度をそろえ始めよう。

数Ⅰでは負や${180}^{\circ }$を超える角度の三角比はやらないけれど、これも(1)と同じように解ける。

$\cos (-{90}^{\circ }+\theta )$$+$$\cos (-\theta )$
          $+$$\sin ({180}^{\circ }+\theta )$$+$$\sin ({270}^{\circ }-\theta )$式Ｅ

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式Ｅの赤い部分の
$\cos (-{90}^{\circ }+\theta )$
は、図Ｉの赤い長さ。
図Ｅでこれと同じ長さなのは、青い線、つまり$\sin \theta$なので、
$\cos (-{90}^{\circ }+\theta )=\sin \theta$式Ｆ
とかける。

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式Ｅの青い部分の
$\cos (-\theta )$
は、図Ｊの赤い長さ。
図Ｅでこれと同じ長さなのは、緑の線、つまり$\cos \theta$なので、
$\cos (-\theta )=\cos \theta$式Ｇ
とかける。

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以上の式Ｆ，式Ｇ，式Ｈ，式Ｉを式Ｅに代入して、
$\cos (-{90}^{\circ }+\theta )+\cos (-\theta )$
          $+\sin ({180}^{\circ }+\theta )+\sin ({270}^{\circ }-\theta )$
$=\sin \theta +\cos \theta -\sin \theta -\cos \theta$
$=0$
である。

解答$0$