数学Ⅱ ：微分・積分の考え $\frac{1}{6}$ 公式の計算

例題

(1) $y = x^{2} + 2 x - 5$ のグラフと $y = 3 x^{2} - 8 x + 3$ のグラフに囲まれた部分の面積を求めなさい。 (2) $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5$ のグラフ $y = x + 1$ のグラフに囲まれた部分の面積を求めなさい。

アドバイス

最初に、 $\frac{1}{6}$ 公式の復習をしておこう。
$\frac{1}{6}$ 公式は定積分の計算を簡単にする方法で、

公式

$\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{1}{6} (β - α)^{3}$

だった。

これだけじゃ分かりにくいので、ちょっと補足しておく。

図の固定

図のような、二次関数と直線、または二次関数と二次関数で囲まれたオレンジ色の部分の面積 $S$ が
$S = a \int_{α}^{β} (x^{2} + b x + c) d x$
の形で表せるときを考える。

この式は必ず
$S = a \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x$
と因数分解でき、さらに $\frac{1}{6}$ 公式によって
$S = a \cdot {- \frac{1}{6} (β - α)^{3}}$
とかける。

計算がとても楽になるので、使えるときは必ず使うようにしよう。

(1)

まず、清く正しく解いてみよう。

ふたつのグラフの交点の $x$ 座標を求めよう。
連立方程式
${\begin{cases} y = x^{2} + 2 x - 5 \\ y = 3 x^{2} - 8 x + 3 \end{cases}$
を解いて、
$x^{2} + 2 x - 5 = 3 x^{2} - 8 x + 3$
$(x^{2} + 2 x - 5) - (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$
$- 2 x^{2} + 10 x - 8$ $= 0$ 式Ａ
$x^{2} + 5 x - 4 = 0$
$(x -$ $1$ $) (x -$ $4$ $) = 0$ 式Ｂ
より $x = 1, 4$ なので、 $x = 1$ から $x = 4$ まで積分すればよい。

$1 < x < 4$ でふたつのグラフの上下関係を考えると、
$(x^{2} + 2 x - 5) > (3 x^{2} - 8 x + 3)$
である。

以上より、求める面積 $S$ は、
$S = \int_{1}^{4} {(x^{2} + 2 x - 5) - (3 x^{2} - 8 x + 3)} d x$
$S$ $= \int_{1}^{4} ($ $- 2 x^{2} + 10 x - 8$ $) d x$ 式Ｃ
$S$ $= \int_{1}^{4} - 2 (x^{2} + 5 x - 4) d x$
$S$ $= - 2 \int_{1}^{4} (x^{2} + 5 x - 4) d x$
$S$ $=$ $- 2$ $\int$ ₁ ⁴ $(x^{2} + 5 x - 4) d x$ 式Ｄ

$\frac{1}{6}$ 公式より、
$S =$ $- 2$ ${- \frac{1}{6} ($ $4$ - $1$ $)^{3}}$ 式Ｅ
$S$ $= \frac{2 \cdot 3^{3}}{6}$
$S$ $= 9$
となる。

解答 $9$

アドバイス

さて、ちょっと上の計算を見直してみよう。
最終的に面積を求めたのは式Ｅの部分で、実際に使った値は、色つきの部分の $- 2$ ， $1$ ， $4$ の３つだ。
これは式Ｄの同じ色の部分からきている。

このうち、積分区間の $1$ ， $4$ は式Ｂで求めた。

$- 2$ は式Ｃの $x^{2}$ の係数からきているけれど、この緑の部分は式Ａの左辺と同じだ。
なので、式Ａの $x^{2}$ の係数が、そのまま式Ｅで使った $- 2$ になる。

以上から、センター試験などマークシート形式の問題で、答だけ分かればよい場合、空色の部分の計算は省略できることが分かる。

この省略方式で解くと、次のようになる。

連立方程式
${\begin{cases} y = x^{2} + 2 x - 5 \\ y = 3 x^{2} - 8 x + 3 \end{cases}$
より、
$x^{2} + 2 x - 5 = 3 x^{2} - 8 x + 3$ 式Ｆ
$(x^{2} + 2 x - 5) - (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$
$- 2$ $x^{2} + 10 x - 8 = 0$
$x^{2} + 5 x - 4 = 0$
$(x -$ $1$ $) (x -$ $4$ $) = 0$

$\frac{1}{6}$ 公式より、
$S =$ $- 2$ ${- \frac{1}{6} ($ $4$ - $1$ $)^{3}}$
$S$ $= \frac{2 \cdot 3^{3}}{6} = 9$

解答 $9$

アドバイス

ここでちょっと気にしてぼしいのは、式Ｆだ。左辺と右辺を入れ替えて
$3 x^{2} - 8 x + 3 = x^{2} + 2 x - 5$
とすると、
$(3 x^{2} - 8 x + 3) - (x^{2} + 2 x - 5) = 0$
$2 x^{2} - 10 x + 8 = 0$
となって、 $x^{2}$ の係数が $\pm$ 逆になってしまう。
すると、 $\frac{1}{6}$ 公式に代入したとき、面積が負になってちょっとびっくりする。
こんなときは、慌てずに $x^{2}$ の係数に $- 1$ をかけて負にしてほしい。

(2)

まずは、正しい解き方から。

ふたつのグラフの交点の $x$ 座標を求めよう。
連立方程式
${\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5 \\ y = x + 1 \end{cases}$
を解いて、
$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5 = x + 1$
$(- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5) - (x + 1) = 0$
$- \frac{1}{2} x^{2} + x + 4 = 0$
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
$(x + 2) (x - 4) = 0$
より $x = - 2, 4$ なので、 $x = - 2$ から $x = 4$ まで積分すればよい。

$- 2 < x < 4$ でふたつのグラフの上下関係を考えると、
$(- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5) > (x + 1)$
である。

以上より、求める面積 $S$ は、
$S = \int_{- 2}^{4} {(- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5) - (x + 1)} d x$
$S$ $= \int_{- 2}^{4} (- \frac{1}{2} x^{2} + x + 4) d x$
$S$ $= \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x - 8) d x$
$S$ $= - \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} (x^{2} - 2 x - 8) d x$

$\frac{1}{6}$ 公式より、
$S = - \frac{1}{2} {- \frac{1}{6} {4 - (- 2)}^{3}}$
$S$ $= \frac{6^{3}}{2 \cdot 6}$
$S$ $= 18$
となる。

解答 $18$

省略法式でも解いてみよう。

ふたつのグラフの交点の $x$ 座標を求めよう。

連立方程式
${\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5 \\ y = x + 1 \end{cases}$
を解いて、

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5 = x + 1$ 式Ｇ
$(- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 5) - (x + 1) = 0$
$- \frac{1}{2}$ $x^{2} + x + 4 = 0$ 式Ｈ
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
$(x + 2) (x - 4) = 0$
より、 $x =$ $- 2$ , $4$ のとき、二つのグラフは共有点をもつ。
ここまで、省略しない方式と同じ。

$\frac{1}{6}$ 公式より、
$S =$ $- \frac{1}{2}$ ${- \frac{1}{6} {$ $4$ $- ($ $- 2$ $)}^{3}$ $}$
$S$ $= \frac{6^{3}}{2 \cdot 6}$
$S$ $= 18$
となる。

解答 $18$

アドバイス

ポイントは、式Ｇから式Ｈの変形の際に両辺に $2$ をかけて分母を払ったりしないこと。
式Ｈの形になるまでは、両辺にかけたり割ったりしないように注意。でないと、 $x^{2}$ の係数が変わってしまう。

アドバイス

以上、 $\frac{1}{6}$ 公式を使うときの計算の省略方法を説明した。
誤解しないでほしいのだが「省略して計算するべきだ」とは思っていない。
センター試験は時間との戦いになるので「時間節約のために計算を省略するのもやむを得ない」と思っている。
あくまで数学の基本は「ちゃんと書いて目で見て考える」である。時間に余裕がある場合は省略せずに解いてほしい。