復習

まず、箱ひげ図の確認をしよう。

図の固定

復習ができたところで、問題を解く。
１ページの表を見ると、３つの教科で最大値と最小値は同じ。第１四分位数と第２四分位数は、国語と英語の値が近い。なので、まず第３四分位数から確認する。

まず、国語。
表から第３四分位数が64.5だけど、それに該当する箱ひげ図は３だけ。

解答ア：３

次に、数学。
表から第３四分位数が84.0だけど、それに該当する箱ひげ図は０・５のふたつ。
次に第１四分位数（中央値でもいいけど）を見ると、０はゼンゼン合わない。
なので、数学の箱ひげ図は５。

解答イ：５

さらに、英語。
表から第３四分位数が70.5だけど、それに該当する箱ひげ図は１・２のふたつ。
箱ひげ図１と２で大きく違うのは中央値なので、表で中央値を確認する。
以上から、国語の箱ひげ図は２。

解答ウ：２

１ページの表より、数学の平均値は69.40
分散は表にないので$x$とする。

復習

もとのデータのすべてに$a$をたすと、新しいデータの 平均値は$a$増える 分散は変わらない

もとのデータのすべてを$a$倍すると、新しいデータの 平均値は$a$倍になる 分散は$a^{2}$倍になる

だった。

詳しくはこのページ参照。

なので、全員の数学の得点を$0.5$倍して50加えると、新しい平均値は
$69.40\times 0.5+50=84.7$
となる。

解答エ：８, オ：４, カ：７

分散は
$x\times 0.5^{2}$
これが$82.8$になればよいので、もとの分散$x$は
$x\times 0.5^{2}=82.8$
$x=331.2$
となる。

解答キ：３, ク：３, ケ：１, コ：２

復習

相関係数とは、共分散をそれぞれの変数の標準偏差で割ったものだった。
つまり、共分散を$\sigma_{xy}$，それぞれの変数の標準偏差を$\sigma_{x}$，$\sigma_{y}$とすると、相関係数$r_{xy}$は
$\displaystyle r_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot\sigma_{y}}$式Ａ
である。

よって、相関係数$r_{xy}$は、
$r_{xy}=\displaystyle \frac{205}{18.0\times 17.0}$
$r_{xy}$$\doteqdot 0.67$
である。

解答サ：６, シ：７

[A]～[C]を、ひとつずつ確認してゆこう。

[A] 相関係数$r$は$-1\leqq r\leqq 1$であるのは正しいけど、後半が違う。
$r=1$または$r=-1$となるのは、すべてのデータが１つの直線上にあるとき。
この逆は真じゃなくて、全てのデータが１つの直線上にあっても$r=1$または$r=-1$とは限らないので注意。
一例を挙げると、図Ｂのようなとき。
この場合、英語の標準偏差が$0$なので(2)の復習の式Ａの分母が$0$になるから、相関係数は存在しない。

[B] 相関係数は、データを標準化（平均値を０に、標準偏差を１に）するのと同じ計算をしている。
もとのデータを$a$倍しても（平均値が$a$倍，標準偏差が$|a|$倍になる）、$a$を加えても（平均値が$a$増える）、計算の過程で標準化されて平均値０・標準偏差１に調節されてしまうので、相関係数は変わらない。
ただし、相関係数を求める２つのデータの片方に正の数、他方に負の数をかけると、相関係数の符号は逆になる。

[C] まず「因果関係」という言葉の意味を考えてみる。ふたつのものに「因果関係がある」という場合「一方が原因でありもう一方が結果である」ことを意味する。
一方、相関係数が表すのは、相関図を描いた場合に分布が直線状かどうかということで、言いかえれば「ふたつのデータに関係がありそうに見える」かどうかを示している。
以上から、相関係数は因果関係とは違う考え方なので「相関係数が高いから因果関係がある」とは言えない。
まぁ、今回の問題のように、テストの得点を使って教科どうしの相関係数をとることを考えてみると分かるよね。いくら相関係数が高くても「教科Ａの得点が原因で教科Ｂの得点が決まる」なんておかしいでしょ。

解答ス：４