(i)

一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$k=1$なので、
$8x+5y=1$式Ａ
を解く。

$x$と$y$の係数の$8$と$5$でユークリッドの互除法を行うと、
$8\div5=1\ldots3$式Ｂ1
$5\div3=1\ldots2$式Ｂ2
$3\div2=1\ldots1$式Ｂ3

これを「＝余り」の形に変形して、
$8-5\cdot1=3$式Ｂ1'
$5-3\cdot1=2$式Ｂ2'
$3-2\cdot1=1$式Ｂ3'

式Ｂ3'に式Ｂ2'を代入して、
$3-(5-3\cdot 1)\cdot 1=1$
$3-5+3=1$
$5\cdot(-1)+3\cdot2=1$
これに式Ｂ1'を代入して、
$5\cdot(-1)+(8-5\cdot 1)\cdot 2=1$
$5\cdot(-1)+8\cdot 2+5\cdot(-2)=1$
$8\cdot2+5\cdot(-3)=1$式Ｃ
ができる。

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

	$8x$	$+5y$	$=$	$1$
$-)$	$8\cdot2$	$+5\cdot(-3)$	$=$	$1$
	$8(x-2)$	$+5(y+3)$	$=$	$0$

となるから、
$-8(x-2)=5(y+3)$
とかける。

ここで、$8$と$5$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$m$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x-2=5m\\y+3=-8m\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}x=5m+2\\y=-8m-3\end{array}\right.$式Ｄ
でなければならない。

問題より、$x \gt -10$，$y \gt -10$なので、式Ｄより
$\left\{\begin{array}{l}
-10 \lt 5m+2\\
-10 \lt -8m-3
\end{array}\right.$
となる。

この連立不等式を解いて、
$-10 \lt 5m+2$
$-12 \lt 5m$
$ \displaystyle -\frac{12}{5} \lt m$
だけど、$m$は整数なので、
$-2 \leqq m$ $-10 \lt -8m-3$
$8m \lt 7$
$m \lt \displaystyle \frac{7}{8}$
だけど、$m$は整数なので、
$m \leqq 0$ より
$-2 \leqq m \leqq 0$
なので
$m=\{-2,\ -1,\ 0\}$
であることが分かる。

これを式Ｄに代入すると答えだ。
$m=-2$のとき、
$(x,y)=(-8,13)$

解答ア：－, イ：８, ウ：１, エ：３

$m=-1$のとき、
$(x,y)=(-3,5)$

解答オ：－, カ：３, キ：５

$m=0$のとき、
$(x,y)=(2,-3)$

解答ク：２, ケ：－, コ：３

(ii)

$k=17$のとき、不定方程式は
$8x+5y=17$式Ｅ となる。

式Ｃの両辺を$17$倍して、
$8\cdot 34+5\cdot(-51)=17$式Ｃ'

式Ｅから式Ｃ'を辺々引くと、

	$8x$	$+5y$	$=$	$17$
$-)$	$8\cdot34$	$+5\cdot(-51)$	$=$	$17$
	$8(x-34)$	$+5(y+51)$	$=$	$0$

となるから、
$-8(x-34)=5(y+51)$
とかける。

ここで、$8$と$5$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$p$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x-34=5p\\y+51=-8p\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}x=5p+34\\y=-8p-51\end{array}\right.$式Ｆ
でなければならない。

式Ｆより
$x+y=(5p+34)+(-8p-51)$
$x+y$$=-3p-17$
なので、
$0 \lt x+y \lt 100$
は
$0 \lt -3p-17 \lt 100$
とかける。
これを満たす整数$p$の数を求めると、それが条件に合う解の数だ。

上の不等式を解いて、
$17 \lt -3p \lt 117$
$ \displaystyle -\frac{117}{3} \lt p \lt -\frac{17}{3}$
$-39 \lt p \lt -\displaystyle \frac{17}{3}$
$-39 \lt p \lt -5.66...$
$p$は整数なので、
$-38 \leqq p \leqq -6$
となるので、これを満たす整数$p$は33個。
よって、$(x,y)$の解の組は33個できる。

解答サ：３, シ：３

$G$を$a$と$b$の最大公約数として$a=a'G$，$b=b'G$とかくとき、$a'$と$b'$は互いに素であり、最大公約数は１である。

詳しく

もし$a'$と$b'$が１でない公約数$g$をもつならば、
$\left\{\begin{array}{l}
a'=a''g\\
b'=b''g
\end{array}\right.$
とかける。これを$a=a'G$，$b=b'G$に代入すると
$\left\{\begin{array}{l}
a=a''gG\\
b=b''gG
\end{array}\right.$
となる。
この場合、$a$と$b$の最大公約数は$gG$となって「$G$を最大公約数とする」に矛盾する。
なので、$a'$と$b'$の最大公約数は$1$でなければならない。

解答ス：１

$600$と$5772$を素因数分解して、
$600=2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}$
$5772=2^{2}\cdot 3\cdot 13\cdot 37$

解答セ：２, ソ：３

となるから、これまでの関係をまとめると
$\left\{\begin{array}{l}
a'G+b'G=2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}\\
a'b'G=2^{2}\cdot 3\cdot 13\cdot 37
\end{array}\right.$式Ｇ
である。
よって、$G$は式Ｇふたつの式の共通部分である
$2^{2}\cdot 3=12$
である。

詳しく

式Gの共通部分がすべて$G$になるのか、ちゃんと考えてみる。

式Ｇを変形して、
$\left\{\begin{array}{l}
\left(a'+b'\right)G=2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}\\
a'b'G=2^{2}\cdot 3\cdot 13\cdot 37
\end{array}\right.$式G'
とする。
スより、$a'$と$b'$は互いに素である。
このとき、$(a'+b')$と$a'b'$の公約数を考える。

$(a'+b')$と$a'b'$が$1$以外の公約数$c$（$c$は素数）をもつ場合、
$a'$と$b'$は互いに素なので、どちらか一方は$c$の倍数であり、もう一方は$c$の倍数ではない。
ここでは、説明のために$a'$が$c$の倍数とする。
$a'=ca''$とかけるので、
$(a'+b')=(ca''+b')$
これが$c$を約数にもつので、
$(a'+b')$$=c(a''+b'')$
と因数分解できる。
これは、$b'$は$c$の倍数ではないので矛盾する。

なので、$(a'+b')$と$a'b'$は素数の公約数をもたない。
$1$以外のすべての自然数は素数の積の形で表せるので、$(a'+b')$と$a'b'$の最大公約数は$1$である。

以上から、式G'の右辺の共通部分$2^{2}\cdot 3$はすべて$G$で、$(a'+b')$や$a'b'$の約数は含まれない。

解答タ：１, チ：２

$G=2^{2}\cdot 3$，$a'b'G=2^{2}\cdot 3\cdot 13\cdot 37$より、
$a'b=13\cdot 37$
ここで、$a \gt b$から$a' \gt b'$なので
$\left\{\begin{array}{l}
a'=37\\
b'=13
\end{array}\right.$
となる。
これを$a=a'G$，$b=b'G$に代入して、
$a=37\cdot 12$
$a$$=444$

解答ツ：４, テ：４, ト：４

$b=13\cdot 12$
$b$$=156$

解答ナ：１, ニ：５, ヌ：６

となる。

$G=ma+nb$に、これまでに分かったことを代入すると
$37\cdot 12m+13\cdot 12n=12$
$37m+13n=1$式Ｈ
となる。
これを満たす$m$，$n$を見つけるんだけど、(1)と同じように解こう。

$m$と$n$の係数の$37$と$13$でユークリッドの互除法を行うと、
$37\div13=2\ldots11$式Ｉ1
$13\div11=1\ldots2$式Ｉ2
$11\div2=5\ldots1$式Ｉ3

これを「＝余り」の形に変形して、
$37-13\cdot2=11$式Ｉ1'
$13-11\cdot1=2$式Ｉ2'
$11-2\cdot5=1$式Ｉ3'

式Ｉ3'に式Ｉ2'を代入して、
$11-(13-11\cdot 1)\cdot 5=1$
$11-13\cdot 5+11\cdot 5=1$
$13\cdot(-5)+11\cdot6=1$
これに式Ｉ1'を代入して、
$13\cdot(-5)+(37-13\cdot 2)\cdot 6=1$
$13\cdot(-5)+37\cdot 6+13\cdot(-12)=1$
$37\cdot6+13\cdot(-17)=1$式Ｊ
ができる。

式Ｈから式Ｊを辺々引くと、

	$37m$	$+13n$	$=$	$1$
$-)$	$37\cdot6$	$+13\cdot(-17)$	$=$	$1$
	$37(m-6)$	$+13(n+17)$	$=$	$0$

となるから、
$-37(m-6)=13(n+17)$
とかける。

ここで、$37$と$13$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$q$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}m-6=13q\\n+17=-37q\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}m=13q+6\\n=-37q-17\end{array}\right.$式Ｋ
でなければならない。

問題文より、$0 \lt m$
よって、式Ｋより
$0 \lt 13q+6$
$\displaystyle -\frac{6}{13} \lt q$
$q$は整数なので、
$0 \leqq q$
である。

$q$がこの範囲のとき、$m$が最小となる解の組を探す。
式Ｋより、
$m=13q+6$
なので、$m$が最小になるのは$q$が最小のとき。
よって、式Ｋに$q=0$を代入して、
$m=13 \cdot 0+6$
$m$$=6$ $n=-37 \cdot 0-17$
$n$$=-17$ が求める解である。

解答ネ：６, ノ：－, ハ：１, ヒ：７