(i)

一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$k=1$なので、
$8x+5y=1$式Ａ
を解く。

$x$と$y$の係数の$8$と$5$でユークリッドの互除法を行うと、
$8÷5=1\dots 3$式Ｂ1
$5÷3=1\dots 2$式Ｂ2
$3÷2=1\dots 1$式Ｂ3

これを「＝余り」の形に変形して、
$8-5\cdot 1=3$式Ｂ1'
$5-3\cdot 1=2$式Ｂ2'
$3-2\cdot 1=1$式Ｂ3'

式Ｂ3'に式Ｂ2'を代入して、
$3-(5-3\cdot 1)\cdot 1=1$
$3-5+3=1$
$5\cdot (-1)+3\cdot 2=1$
これに式Ｂ1'を代入して、
$5\cdot (-1)+(8-5\cdot 1)\cdot 2=1$
$5\cdot (-1)+8\cdot 2+5\cdot (-2)=1$
$8\cdot 2+5\cdot (-3)=1$式Ｃ
ができる。

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

	$8x$	$+5y$	$=$	$1$
$-)$	$8\cdot 2$	$+5\cdot (-3)$	$=$	$1$
	$8(x-2)$	$+5(y+3)$	$=$	$0$

となるから、
$-8(x-2)=5(y+3)$
とかける。

ここで、$8$と$5$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$m$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-2=5m\\ y+3=-8m\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=5m+2\\ y=-8m-3\end{array}$式Ｄ
でなければならない。

問題より、$x>-10$，$y>-10$なので、式Ｄより
$\{\begin{array}{l}-10<5m+2\\ -10<-8m-3\end{array}$
となる。

この連立不等式を解いて、
$-10<5m+2$
$-12<5m$
$-{\displaystyle \frac{12}{5}}<m$
だけど、$m$は整数なので、
$-2\leqq m$ $-10<-8m-3$
$8m<7$
$m<{\displaystyle \frac{7}{8}}$
だけど、$m$は整数なので、
$m\leqq 0$ より
$-2\leqq m\leqq 0$
なので
$m=\{-2,-1,0\}$
であることが分かる。

これを式Ｄに代入すると答えだ。
$m=-2$のとき、
$(x,y)=(-8,13)$

解答ア：－, イ：８, ウ：１, エ：３

$m=-1$のとき、
$(x,y)=(-3,5)$

解答オ：－, カ：３, キ：５

$m=0$のとき、
$(x,y)=(2,-3)$

解答ク：２, ケ：－, コ：３

(ii)

$k=17$のとき、不定方程式は
$8x+5y=17$式Ｅ となる。

式Ｃの両辺を$17$倍して、
$8\cdot 34+5\cdot (-51)=17$式Ｃ'

式Ｅから式Ｃ'を辺々引くと、

	$8x$	$+5y$	$=$	$17$
$-)$	$8\cdot 34$	$+5\cdot (-51)$	$=$	$17$
	$8(x-34)$	$+5(y+51)$	$=$	$0$

となるから、
$-8(x-34)=5(y+51)$
とかける。

ここで、$8$と$5$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$p$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-34=5p\\ y+51=-8p\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=5p+34\\ y=-8p-51\end{array}$式Ｆ
でなければならない。

式Ｆより
$$\begin{array}{rl}x+y& =(5p+34)+(-8p-51)\\ & =-3p-17\end{array}$$ なので、
$0<x+y<100$
は
$0<-3p-17<100$
とかける。
これを満たす整数$p$の数を求めると、それが条件に合う解の数だ。

上の不等式を解いて、
$17<-3p<117$
$-{\displaystyle \frac{117}{3}}<p<-{\displaystyle \frac{17}{3}}$
$-39<p<-{\displaystyle \frac{17}{3}}$
$-39<p<-5.66...$
$p$は整数なので、
$-38\leqq p\leqq -6$
となるので、これを満たす整数$p$は33個。
よって、$(x,y)$の解の組は33個できる。

解答サ：３, シ：３

$G$を$a$と$b$の最大公約数として$a=a^{\prime }G$，$b=b^{\prime }G$とかくとき、$a^{\prime }$と$b^{\prime }$は互いに素であり、最大公約数は１である。

詳しく

もし$a^{\prime }$と$b^{\prime }$が１でない公約数$g$をもつならば、
$\{\begin{array}{l}{a}^{\prime }=a^{″}g\\ b^{\prime }=b^{″}g\end{array}$
とかける。これを$a=a^{\prime }G$，$b=b^{\prime }G$に代入すると
$\{\begin{array}{l}a=a^{″}gG\\ b=b^{″}gG\end{array}$
となる。
この場合、$a$と$b$の最大公約数は$gG$となって「$G$を最大公約数とする」に矛盾する。
なので、$a^{\prime }$と$b^{\prime }$の最大公約数は$1$でなければならない。

解答ス：１

$600$と$5772$を素因数分解して、
$600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$
$5772=2^2\cdot 3\cdot 13\cdot 37$

解答セ：２, ソ：３

となるから、これまでの関係をまとめると
$\{\begin{array}{l}{a}^{\prime }G+b^{\prime }G=2^3\cdot 3\cdot 5^2\\ a^{\prime }{b}^{\prime }G=2^2\cdot 3\cdot 13\cdot 37\end{array}$式Ｇ
である。
よって、$G$は式Ｇふたつの式の共通部分である
$2^2\cdot 3=12$
である。

詳しく

式Gの共通部分がすべて$G$になるのか、ちゃんと考えてみる。

式Ｇを変形して、
$\{\begin{array}{l}(a^{\prime }+b^{\prime })G=2^3\cdot 3\cdot 5^2\\ a^{\prime }{b}^{\prime }G=2^2\cdot 3\cdot 13\cdot 37\end{array}$式G'
とする。
スより、$a^{\prime }$と$b^{\prime }$は互いに素である。
このとき、$(a^{\prime }+b^{\prime })$と$a^{\prime }{b}^{\prime }$の公約数を考える。

$(a^{\prime }+b^{\prime })$と$a^{\prime }{b}^{\prime }$が$1$以外の公約数$c$（$c$は素数）をもつ場合、
$a^{\prime }$と$b^{\prime }$は互いに素なので、どちらか一方は$c$の倍数であり、もう一方は$c$の倍数ではない。
ここでは、説明のために$a^{\prime }$が$c$の倍数とする。
$a^{\prime }=c{a}^{″}$とかけるので、
$(a^{\prime }+b^{\prime })=(c{a}^{″}+b^{\prime })$
これが$c$を約数にもつので、
$(a^{\prime }+b^{\prime })=c(a^{″}+b^{″})$
と因数分解できる。
これは、$b^{\prime }$は$c$の倍数ではないので矛盾する。

なので、$(a^{\prime }+b^{\prime })$と$a^{\prime }{b}^{\prime }$は素数の公約数をもたない。
$1$以外のすべての自然数は素数の積の形で表せるので、$(a^{\prime }+b^{\prime })$と$a^{\prime }{b}^{\prime }$の最大公約数は$1$である。

以上から、式G'の右辺の共通部分$2^2\cdot 3$はすべて$G$で、$(a^{\prime }+b^{\prime })$や$a^{\prime }{b}^{\prime }$の約数は含まれない。

解答タ：１, チ：２

$G=2^2\cdot 3$，$a^{\prime }{b}^{\prime }G=2^2\cdot 3\cdot 13\cdot 37$より、
$a^{\prime }b=13\cdot 37$
ここで、$a>b$から$a^{\prime }>b^{\prime }$なので
$\{\begin{array}{l}{a}^{\prime }=37\\ b^{\prime }=13\end{array}$
となる。
これを$a=a^{\prime }G$，$b=b^{\prime }G$に代入して、
$a=37\cdot 12$
$a$$=444$

解答ツ：４, テ：４, ト：４

$b=13\cdot 12$
$b$$=156$

解答ナ：１, ニ：５, ヌ：６

となる。

$G=ma+nb$に、これまでに分かったことを代入すると
$37\cdot 12m+13\cdot 12n=12$
$37m+13n=1$式Ｈ
となる。
これを満たす$m$，$n$を見つけるんだけど、(1)と同じように解こう。

$m$と$n$の係数の$37$と$13$でユークリッドの互除法を行うと、
$37÷13=2\dots 11$式Ｉ1
$13÷11=1\dots 2$式Ｉ2
$11÷2=5\dots 1$式Ｉ3

これを「＝余り」の形に変形して、
$37-13\cdot 2=11$式Ｉ1'
$13-11\cdot 1=2$式Ｉ2'
$11-2\cdot 5=1$式Ｉ3'

式Ｉ3'に式Ｉ2'を代入して、
$11-(13-11\cdot 1)\cdot 5=1$
$11-13\cdot 5+11\cdot 5=1$
$13\cdot (-5)+11\cdot 6=1$
これに式Ｉ1'を代入して、
$13\cdot (-5)+(37-13\cdot 2)\cdot 6=1$
$13\cdot (-5)+37\cdot 6+13\cdot (-12)=1$
$37\cdot 6+13\cdot (-17)=1$式Ｊ
ができる。

式Ｈから式Ｊを辺々引くと、

	$37m$	$+13n$	$=$	$1$
$-)$	$37\cdot 6$	$+13\cdot (-17)$	$=$	$1$
	$37(m-6)$	$+13(n+17)$	$=$	$0$

となるから、
$-37(m-6)=13(n+17)$
とかける。

ここで、$37$と$13$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$q$を整数として
$\{\begin{array}{l}m-6=13q\\ n+17=-37q\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}m=13q+6\\ n=-37q-17\end{array}$式Ｋ
でなければならない。

問題文より、$0<m$
よって、式Ｋより
$0<13q+6$
$-{\displaystyle \frac{6}{13}}<q$
$q$は整数なので、
$0\leqq q$
である。

$q$がこの範囲のとき、$m$が最小となる解の組を探す。
式Ｋより、
$m=13q+6$
なので、$m$が最小になるのは$q$が最小のとき。
よって、式Ｋに$q=0$を代入して、
$$\begin{array}{rl}m& =13\cdot 0+6\\ & =6\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}n& =-37\cdot 0-17\\ & =-17\end{array}$$ が求める解である。

解答ネ：６, ノ：－, ハ：１, ヒ：７