表Ａをもとに確率分布表を書く。

表Ｂ

	1	2	3	4	5	計
$P(S)$	${\displaystyle \frac{4}{10}}$	${\displaystyle \frac{3}{10}}$	${\displaystyle \frac{2}{10}}$	${\displaystyle \frac{1}{10}}$	$0$	$1$
$P(T)$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{10}}$	${\displaystyle \frac{2}{10}}$	${\displaystyle \frac{3}{10}}$	${\displaystyle \frac{4}{10}}$	$1$

表Ｂより、
$$\begin{array}{rl}E(S)& =1\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}+3\cdot {\displaystyle \frac{2}{10}}+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ & ={\displaystyle \frac{10}{5}}\\ & =2\mathrm{式}Ａ\end{array}$$

解答カ：２

同じく表Ｂより、
$$\begin{array}{rl}E(T)& =2\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}+3\cdot {\displaystyle \frac{2}{10}}+4\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}+5\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}+{\displaystyle \frac{10}{5}}\\ & ={\displaystyle \frac{20}{5}}\\ & =4\mathrm{式}Ｂ\end{array}$$

解答キ：４

復習

確率変数$A$があって、$A$の平均値を$E(A)$，分散を$V(A)$，標準偏差を$S(A)$とする。
$B=aA+b$ ただし、$a$，$b$は定数
とするとき、$B$の平均$E(B)$，分散$V(B)$，標準偏差$S(B)$はそれぞれ
$E(B)=aE(A)+b$ $V(B)=a^{2}V(A)$ $S(B)=|a|S(A)$ となる。

なので、
$\{\begin{array}{l}E(aS-1)=5\\ E(bT-1)=5\end{array}$
は、
$\{\begin{array}{l}aE(S)-1=5\\ bE(T)-1=5\end{array}$
と書き換えられる。
これに式Ａ，式Ｂを代入して、
$\{\begin{array}{l}2a-1=5\\ 4b-1=5\end{array}$
より、
$2a-1=5$
$2a=6$
$a=3$

解答ク：３

$4b-1=5$
$4b=6$
$b={\displaystyle \frac{3}{2}}$

解答ケ：３, コ：２

である。

(i)

まず、二項分布について復習しよう。

復習

表Ｃのような確率変数$R$があったとき、

表Ｃ

$R$	$0$	$1$	$\cdots$	$n$	計
確率	${}_n{\mathrm{C}}_0\cdot p^0\cdot (1-p{)}^n$	${}_n{\mathrm{C}}_1\cdot p^1\cdot (1-p{)}^{n-1}$	$\cdots$	${}_n{\mathrm{C}}_n\cdot p^n\cdot (1-p{)}^0$	$1$

$R$は二項分布に従う。

$R$の 平均(期待値)$E(R)=np$ 分散$V(R)=np(1-p)$ である。

復習から、確率変数$X$の平均$E(X)$，分散$V(X)$は、
$$\begin{array}{rl}E(X)& =np\\ & =100\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}\\ & =20\mathrm{式}Ｃ\end{array}$$

解答サ：２, シ：０

$$\begin{array}{rl}V(X)& =np(1-p)\\ & =100\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}\\ & =16\mathrm{式}Ｄ\end{array}$$ である。
標準偏差$S(X)$は分散の正の平方根なので、
$$\begin{array}{rl}S(X)& =\sqrt{V(X)}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$$

解答ス：４

となる。

復習

さらに、二項分布と正規分布の関係についても復習する。
$n$が十分に大きい数であるとき、二項分布$B(n,p)$は、正規分布$N(np,np(n-p))$で近似できる
だった。

式Ｃ，式Ｄより、
$np$（つまり$E(X)$）は$20$
$np(n-p)$（つまり$V(X)$）は$16$
なので、$X$は$N(20,16)$に近似する。

また、(1)で復習したように、
$B=aA+b$ としたとき、
$E(B)=aE(A)+b$
$V(B)=a^{2}V(A)$

なので、
$$\begin{array}{rl}E(R)& ={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot 20\\ & ={\displaystyle \frac{1}{5}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V(R)& ={\left({\displaystyle \frac{1}{100}}\right)}^2\cdot 16\\ & ={\left({\displaystyle \frac{4}{100}}\right)}^2\\ & ={\displaystyle \frac{1}{{25}^2}}\end{array}$$ より、$R$は正規分布$N({\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{1}{{25}^2}})$に近似する。

解答セ：１, ソ：５

標準偏差は分散の正の平方根なので、
$$\begin{array}{rl}S(R)& =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{{25}^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{25}}\end{array}$$ である。

解答タ：１, チ：２, ツ：５

(ii)

$X$が$10$であったとき、
標本比率は${\displaystyle \frac{10}{100}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$である。
また、標本の大きさは$100$。
これを用いて、母比率を推定する。

復習

標本比率を$R$，標本の大きさを$n$とすると、母比率$p$を推定する式は、
$\begin{array}{rl}& R-z\sqrt{{\displaystyle \frac{R(1-R)}{n}}}\\ & \leqq p\leqq \\ & R+z\sqrt{{\displaystyle \frac{R(1-R)}{n}}}\end{array}$
ただし、$z$は
信頼度95％のとき、$1.96$
信頼度99％のとき、$2.58$
だった。
$z$の値は、今回は問題に書いてある。

なので、求める信頼区間は、
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{10}}-1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{\frac{1}{10}\cdot \frac{9}{10}}{100}}}\\ & \leqq p\leqq \\ & {\displaystyle \frac{1}{10}}+1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{\frac{1}{10}\cdot \frac{9}{10}}{100}}}\end{array}$

途中式

まず根号の中の複分数を整理しよう。
分母分子に$100$をかけて、
${\displaystyle \frac{1}{10}}-1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{1\cdot 9}{{100}^2}}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{1}{10}}+1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{1\cdot 9}{{100}^2}}}$
${\displaystyle \frac{1}{10}}-1.96\cdot {\displaystyle \frac{3}{100}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{1}{10}}+1.96\cdot {\displaystyle \frac{3}{100}}$
左辺と右辺を通分して、
${\displaystyle \frac{10-1.96\cdot 3}{100}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{10+1.96\cdot 3}{100}}$
あとは地道に計算すると、

$0.0412\leqq p\leqq 0.1588$
となるので、問題文のマスに合うように四捨五入して、
$0.04\leqq p\leqq 0.16$
である。

解答テ：０, ト：０, ナ：４, ニ：０, ヌ：１, ネ：６