例として、小数点以下３桁ではじめて$0$でない数が現れる小数を考えてみよう。
小数点以下３桁ではじめて$0$でない数が現れる小数は
$0.001$
$\vdots$
$0.00\dot{9}$ だけど、これは
$0.001\leqq$ $0.001$
$\vdots$
$0.00\dot{9}$ $\lt 0.01$ と書ける。
この式はさらに、
$\frac{1}{1000}\leqq$ $0.001$
$\vdots$
$0.00\dot{9}$ $\lt \frac{1}{100}$ より
$10^{-3} \leqq$ $0.001$
$\vdots$
$0.00\dot{9}$ $\lt 10^{-2}$ と書ける。
つまり、
$ 10^{-3}\leqq$小数点以下３桁$ \lt 10^{-2}$
と言える。
このことから、$n$を整数として、
$ 10^{-n}\leqq$小数点以下$n$桁$ \lt 10^{-(n-1)}$式Ａ
と考えられる。

この考え方を使って問題を解く。

式Ａより、
$10^{-n}\leqq\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \lt 10^{-(n-1)}$式Ｂ
となる$n$を見つければ、それが答だ。

式Ｂの各辺の常用対数をとると、
$\log_{10}10^{-n}\leqq\log_{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \lt \log_{10}10^{-(n-1)}$
$\log_{10}10^{-n}\leqq\log_{10}\left(2^{-1}\right)^{100} \lt \log_{10}10^{-(n-1)}$
$\log_{10}10^{-n}\leqq\log_{10}2^{-100} \lt \log_{10}10^{-(n-1)}$
$-n\log_{10}10\leqq-100\log_{10}2 \lt -(n-1)\log_{10}10$

ここで、$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}10=1$なので、
$-n\leqq-100\times 0.3010 \lt -(n-1)$
$n\geqq 100\times 0.3010 \gt n-1$
$n\geqq 30.10 \gt n-1$
となる。
$n$は整数なので、
$n=31$
となるから、$\left(\frac{1}{2}\right)^{100}$は小数点以下$31$桁ではじめて$0$でない数が現れる。

解答$31$桁