例として、小数点以下３桁ではじめて$0$でない数が現れる小数を考えてみよう。
小数点以下３桁ではじめて$0$でない数が現れる小数は
$0.001$
$⋮$
$0.00\dot{9}$ だけど、これは
$0.001\leqq$ $0.001$
$⋮$
$0.00\dot{9}$ $<0.01$ と書ける。
この式はさらに、
$\frac{1}{1000}\leqq$ $0.001$
$⋮$
$0.00\dot{9}$ $<\frac{1}{100}$ より
${10}^{-3}\leqq$ $0.001$
$⋮$
$0.00\dot{9}$ $<{10}^{-2}$ と書ける。
つまり、
${10}^{-3}\leqq$小数点以下３桁$<{10}^{-2}$
と言える。
このことから、$n$を整数として、
${10}^{-n}\leqq$小数点以下$n$桁$<{10}^{-(n-1)}$式Ａ
と考えられる。

この考え方を使って問題を解く。

式Ａより、
${10}^{-n}\leqq {\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}<{10}^{-(n-1)}$式Ｂ
となる$n$を見つければ、それが答だ。

式Ｂの各辺の常用対数をとると、
${\log }_{10}{10}^{-n}\leqq {\log }_{10}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}<{\log }_{10}{10}^{-(n-1)}$
${\log }_{10}{10}^{-n}\leqq {\log }_{10}{\left(2^{-1}\right)}^{100}<{\log }_{10}{10}^{-(n-1)}$
${\log }_{10}{10}^{-n}\leqq {\log }_{10}{2}^{-100}<{\log }_{10}{10}^{-(n-1)}$
$-n{\log }_{10}10\leqq -100{\log }_{10}2<-(n-1){\log }_{10}10$

ここで、${\log }_{10}2=0.3010$，${\log }_{10}10=1$なので、
$-n\leqq -100\times 0.3010<-(n-1)$
$n\geqq 100\times 0.3010>n-1$
$n\geqq 30.10>n-1$
となる。
$n$は整数なので、
$n=31$
となるから、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}$は小数点以下$31$桁ではじめて$0$でない数が現れる。

解答$31$桁