まず、例として３桁の整数を考えてみよう。
３桁の整数は
$100$
$⋮$
$999$ の数だけど、これは
$100\leqq$ $100$
$⋮$
$999$ $<1000$ より ${10}^2\leqq$ $100$
$⋮$
$999$ $<{10}^3$ と書ける。
つまり、
${10}^2\leqq$３桁の整数$<{10}^3$
と言える。
このことから、$n$を整数として、
${10}^{n-1}\leqq n$桁の整数$<{10}^n$式Ａ
と考えられる。

この考え方を使って問題を解く。

式Ａより、
${10}^{n-1}\leqq 2^{100}<{10}^n$式Ｂ
となる整数$n$を見つければ、それが桁数だ。

式Ｂの各辺の常用対数をとる。常用対数は底が$10$の対数で、$1<10$なので不等号の向きは変わらない。
${\log }_{10}{10}^{n-1}\leqq {\log }_{10}{2}^{100}<{\log }_{10}{10}^n$
$(n-1){\log }_{10}10\leqq 100{\log }_{10}2<n{\log }_{10}10$

ここで、${\log }_{10}2=0.3010$，${\log }_{10}10=1$なので、
$n-1\leqq 100\times 0.3010<n$
$n-1\leqq 30.10<n$式Ｃ
となる。
$n$は整数なので、
$n=31$
となるから、$2^{100}$は$31$桁の数である。

解答$31$桁

(1)の計算を振り返ってみると、式Ｂの
${10}^{n-1}\leqq 2^{100}<{10}^n$
を変形して、式Ｃの
$n-1\leqq 30.10<n$
をつくった。

式Ｃから、底が$10$の指数不等式をつくると、底の$10$は$1$より大きいので、
${10}^{n-1}\leqq {10}^{30.10}<{10}^n$
とかける。
これを式Ｂと見比べると、
$2^{100}={10}^{30.10}$式Ｄ
であると考えられる。

詳しく

${10}^x=2^{100}$
とおく。
両辺の常用対数をとって、
${\log }_{10}{10}^x={\log }_{10}{2}^{100}$
これを変形すると、
$x{\log }_{10}10=100{\log }_{10}2$
$x=100\times 0.3010$
$x$$=30.10$
となるので、
$2^{100}={10}^{30.10}$
である。

式Ｄは、さらに
$2^{100}={10}^{0.10}\times {10}^{30}$式Ｅ
と変形できるけど、これは化学で習ったアボガドロ数の
$6.02\times {10}^{23}$
なんかと同じ形だ。
なので、${10}^{0.10}$がどんな数か分かれば、$2^{100}$の最高位の数字が分かる。

$a={10}^{0.10}$式Ｆ
とおくと、式Ｅは
$2^{100}=a\times {10}^{30}$式Ｅ'
とかける。

で、$a$の値を考えるわけだけれど、式Ｆの両辺の常用対数をとると、
${\log }_{10}a={\log }_{10}{10}^{0.10}$
${\log }_{10}a$$=0.10{\log }_{10}10$
${\log }_{10}a$$=0.10$
である。

ここで、
${\log }_{10}1=0$
問題文より、${\log }_{10}2=0.3010$
なので、
${\log }_{10}1<{\log }_{10}a<{\log }_{10}2$
となる。

底の$10$は$1$より大きいので、この不等式は
$1<a<2$
と変形できる。
つまり、$a$は、整数部分が$1$の小数である。
これを
$a=1.??...$
と表すと、式Ｅ'は、
$2^{100}=1.??...\times {10}^{30}$
とかける。

以上より$2^{100}$の最上位の数字は$1$である。

解答$1$