数学Ⅰ ：数と式命題の真偽と必要条件・十分条件

例題

下の(1)～(5)の場合について、

ＡであることはＢであるための１.必要条件２.十分条件３.必要十分条件４.必要条件でも十分条件でもないのいずれにあたるか答えなさい。

また、命題「ＡであればＢである」の真偽と、偽の場合は反例をひとつ答えなさい。

(1)．全体集合を整数とするとき、
Ａ.３の倍数かつ奇数Ｂ.３の倍数または偶数

(2)． $m$ ， $n$ を整数とするとき、
Ａ. $m n$ は偶数であるＢ. $m + n$ は偶数である

(3)．全体集合を８以下の自然数とするとき、
Ａ.３以下または素数Ｂ.奇数

(4)． $x$ を実数とするとき、
Ａ. $x^{2} - 2 x - 3 ≦ 0$ Ｂ. ${\begin{cases} x^{2} ≦ 9 \\ 3 x + 5 ≧ 2 \end{cases}$

(5)． $x$ ， $y$ を実数とするとき、
Ａ. $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ Ｂ. $| x | + | y | ≦ 1$

アドバイス

必要条件・十分条件の問題は、一般的には

$p \Rightarrow q$ ×
$p \Leftarrow q$ ○
なので、 $p$ は $q$ の必要条件

って解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。なので、図や表で表せるときは、集合の大小で考える方がおすすめ。

必要条件・十分条件と集合

図Ａで、
$p$ は $q$ の必要条件 $q$ は $p$ の十分条件である。
つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件小さい集合は大きい集合の十分条件である。

「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。

図Ｂのようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件となる。

図の固定

図Ｃのように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない。

さらに、命題の真偽と集合の関係も復習しておこう。

命題の真偽と集合

命題「仮定であれば結論である」について、
仮定が結論に含まれていれば真仮定が結論からはみ出していれば偽である。

つまり、仮定の集合を赤、結論の集合を青とすると、命題が真になるのは図Ｄのような場合である。

図の固定

また、命題が偽になるのは図Ｅのような場合である。

図の固定

反例は、仮定に含まれるけれど結論には含まれない部分にあたる。
なので、図Ｅの、赤い斜線はあるけど青い斜線がない部分が反例だ。

こんな感じで、集合の図や表から考えると効果的な場合がよくある。
とは言っても、適切な図や表をすぐに思いつくのは難しいかも。でも、いろいろな図や表のかきかたを知っていれば、まねすることは難しくない。
なので、ここでは、こんなかきかたがあるってことを知ってもらえればいいです。

(1)

Ａ.３の倍数かつ奇数Ｂ.３の倍数または偶数

図の固定

図Ｆのようなベン図をかくと、
Ａの集合は、オレンジの斜線の範囲のうち、緑の斜線がない部分。
つまり、図Ｇの赤い部分。

図の固定

Ｂの集合は、図Ｆのオレンジの斜線の部分または緑の斜線の部分。
つまり、図Ｈの青い部分。

図の固定

図Ｇと図Ｈを重ねると、図Ｉができる。

図の固定

図Ｉを見ると、赤い部分（Ａの集合）が青い部分（Ｂの集合）に含まれている。
「小は大の十分条件」なので、十分条件。
また、仮定（赤い部分）が結論（青い部分）に含まれている。
よって、命題は真である。

解答２，真

(2)

Ａ. $m n$ は偶数であるＢ. $m + n$ は偶数である

整数 $m$ ， $n$ を偶数と奇数に分けて考えると、表Ｊができる。

表Ｊ
		$m$
		偶数	奇数
$n$	偶数
$n$	奇数

$m$ ， $n$ の一方でも偶数であれば $m n$ は偶数になるので、Ａの集合の範囲は表Ｋの赤い範囲。

表Ｋ
		$m$
		偶数	奇数
$n$	偶数
$n$	奇数

たして偶数になるのは、偶数＋偶数のときと、奇数＋奇数のとき。なので、Ｂの集合の範囲は表Ｌの青い範囲。

表Ｌ
		$m$
		偶数	奇数
$n$	偶数
$n$	奇数

表Ｋと表Ｌを重ねると、表Ｍができる。

表Ｍ
		$m$
		偶数	奇数
$n$	偶数
$n$	奇数

表Ｍを見ると、どちらの集合も他方を含んでいない。
なので、必要条件でも十分条件でもない。
命題も偽である。反例は仮定（赤い部分）が結論（青い部分）からはみ出している部分から、何かひとつ答えればよい。

解答４，偽（反例： $m = 1$ ， $n = 2$ ）

(3)

Ａ.３以下または素数Ｂ.奇数

表Ｎ
	1	2	3	4	5	6	7	8
Ａ	○	○	○		○		○
Ｂ	○		○		○		○

全体集合は８つの要素しかないので、全部書いた。

表Ｎより、Ａの集合がＢの集合を含んでいる。
「大は小の必要条件」なので、必要条件。
また、仮定（赤い部分）が結論（青い部分）からはみ出している。
よって命題は偽で、反例ははみ出した部分の $2$ である。

解答１，偽（反例： $2$ ）

(4)

Ａ. $x^{2} - 2 x - 3 ≦ 0$ Ｂ. ${\begin{cases} x^{2} ≦ 9 \\ 3 x + 5 ≧ 2 \end{cases}$

Ａの不等式を解いて、
$(x + 1) (x - 3) ≦ 0$
$- 1 ≦ x ≦ 3$
これを数直線に表すと、図Ｏの赤い範囲になる。

図の固定

Ｂの連立不等式を解いて、
$x^{2} ≦ 9$
$- 3 ≦ x ≦ 3$
$3 x + 5 ≧ 2$
$- 1 ≦ x$
これを数直線に表すと、図Ｐの青い範囲になる。

図の固定

図Ｏと図Ｐを見比べると、Ａの集合とＢの集合は等しい。
なので、必要十分条件で、命題も真である。

解答３，真

(5)

Ａ. $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ Ｂ. $| x | + | y | ≦ 1$

アドバイス

二つの実数の変数（この問題では $x$ ， $y$ ）の関係を図にしようとすると、どうしても数Ⅱで学習する「領域」になってしまう。入試で数ⅠＡしか必要ない人には申し訳ないんだけれど、領域で解く方法が合理的なので、ここでは数Ⅱの範囲に入って説明する。

Ａの集合からはじめよう。
$x^{2} + y^{2} = 1$ は原点中心で半径1の円。
なので、 $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ は、その円の円周上および内部になるから、図Ｑの赤い範囲にあたる。ただし、境界線を含む。

図の固定

次は、Ｂの集合だ。
$x$ ， $y$ ともに負のときと0以上のときに場合分けをして、絶対値をはずしたものが表Ｒである。

表Ｒ
		$x$
		$x < 0$	$0 ≦ x$
$y$	$0 ≦ y$	$- x + y ≦ 1$	$x + y ≦ 1$
$y$	$y < 0$	$- x - y ≦ 1$	$x - y ≦ 1$

表Ｒの緑の部分の場合、
$x + y ≦ 1$
は
$y ≦ - x + 1$
と変形できる。この場合の領域は、場合分け $0 ≦ x$ ， $0 ≦ y$ とあわせて、連立不等式
${\begin{cases} 0 ≦ x \\ 0 ≦ y \\ y ≦ - x + 1 \end{cases}$
が表す領域であるから、図Ｓのようになる。ただし、境界線を含む。

図の固定

同じことを他の場合分けでも繰り返すと、Ｂの集合の表す領域は図Ｔの青い範囲になることが分かる。ただし、境界線を含む。

図の固定

図Ｑと図Ｔを重ねると、図Ｕができる。

図の固定

図Ｕを見ると、赤い部分（Ａの集合）が青い部分（Ｂの集合）を含んでいる。
「大は小の必要条件」なので、必要条件。
また、仮定（赤い部分）が結論（青い部分）からはみ出しているので、命題は偽だ。
反例ははみ出した赤い部分のどこでもいいんだけど、例えば図Ｕの点Ａを考えると、座標は
$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$
なので、
$x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}$
となる。

解答１，偽（反例： $x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ）