数学Ⅰ ：数と式絶対値の基本

例題

次の方程式・不等式を解きなさい。

１. $| x | = 3$ ２. $| x | ≦ 3$ ３. $| x + 2 | = 3$ ４. $| x + 2 | ≦ 3$

$a > 0$ のとき、
$| x | = a \Leftrightarrow x = \pm a$
$| x | < a \Leftrightarrow - a < x < a$
$| x | > a \Leftrightarrow x < - a, a < x$
だった。

これを使うと、例題1,2は

$| x | = 3$
$x = \pm 3$

解答 $x = \pm 3$

$| x | ≦ 3$
$- 3 ≦ x ≦ 3$

解答 $- 3 ≦ x ≦ 3$

と一瞬で終わってしまう。問題を解くときにはこれでいいんだけれど、原理を知っておいた方が応用もしやすい。なので、ここでは数直線を使って「目で見て考える」ことにする。

まず、絶対値の性質を思い出しておこう。

絶対値 $| a |$ は、 $a$ と原点との距離である

この性質を例題1,2に当てはめてみる。

$| x | = 3$ より、原点と $x$ の距離が $3$ なので、 $x$ は原点から左(-方向)か右( $+$ 方向)に $3$ 離れたところにある（図Ａ）。

図の固定

なので、

解答 $x = \pm 3$

$| x | ≦ 3$ より、原点と $x$ の距離が $3$ 以下なので、 $x$ は原点から左に $3$ 離れた $- 3$ と、右に $3$ 離れた $3$ の間にある（図Ｂ）。

図の固定

なので、

解答 $- 3 ≦ x ≦ 3$

残りの例題も同じように解こう。

絶対値の中の $x + 2$ を $A$ とおくと、例題3は
$| A | = 3$
とかける。数直線を描くと図Ｃのようになるので、

図の固定

$A = \pm 3$
$A$ をもとにもどして、
$x + 2 = \pm 3$
$x = - 2 \pm 3$
$x = - 5, 1$
となる。

解答 $x = - 5, 1$

例題4も、絶対値の中の $x + 2$ を $A$ とおくと、
$| A | ≦ 3$
とかける。数直線を描くと図Ｄのようになるので、

図の固定

$- 3 ≦ A ≦ 3$
$A$ をもとにもどして、
$- 3 ≦ x + 2 ≦ 3$
それぞれの辺から $2$ を引いて、
$- 3 - 2 ≦ x + 2 - 2 ≦ 3 - 2$
$- 5 ≦ x ≦ 1$
となる。

解答 $- 5 ≦ x ≦ 1$