(ii)

電線は、図Ｂの赤い点の位置にある。
なので、アームの角度が図中の$\alpha$より大きければ、アームは電線の上側にある。
というわけで、角度$\alpha$を求めよう。

図Ｂの緑の三角形は直角三角形で、
底辺は$2$ｍ 高さは$(5-1.8)$ｍ$=3.2$ｍ なので、
${\displaystyle \tan \alpha =\frac{3.2}{2}}$
$\tan \alpha$$=1.6$
である。

三角比の表を見ると、
$\tan {57}^{\circ }=1.5399$ $\tan {58}^{\circ }=1.6003$ なので、
${57}^{\circ }<\alpha <{58}^{\circ }$
であることが分かる。

よって、選択肢のうち$\alpha$より角度が大きいのは
④，⑤，⑥，⑦
の４つで、アームの角度がこの４つの場合にアームは電線の上側にある。

解答コ：４，５，６，７

(i)

(2)は、アームが曲がる問題だ。

図Ｃの状態のとき、$\mathrm{\angle }\mathrm{CBA}$（赤い角度）を求めよという。

図Ｃのままだと見にくいので、図中の緑の三角形を取り出して図Ｄにしてみた。

図Ｄのように、辺$\mathrm{BC}$の延長に 点$\mathrm{A}$から垂線を下ろし、その足を点$\mathrm{H}$とする。

このとき、△$\mathrm{ACH}$は辺の比が$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形なので、
${\displaystyle \mathrm{CH}=\frac{3}{2}}$ ${\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ である。

なので、△$\mathrm{ABH}$は、
${\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ ${\displaystyle \mathrm{BH}=5+\frac{3}{2}}$ の直角三角形であることが分かる。

よって、求める$\mathrm{\angle }\mathrm{CBA}$について、
${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }\mathrm{CBA}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{5+\frac{3}{2}}}$
${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }\mathrm{CBA}}$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{3}}{13}}$
となる。

$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$なので、これは
${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }\mathrm{CBA}\doteqdot \frac{3\times 1.73}{13}}$
$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{CBA}$$\doteqdot 0.3992\dots$
くらいの数だ。

三角比の表を見ると、
$\tan {21}^{\circ }=0.3839$ $\tan {22}^{\circ }=0.4040$ なので
${21}^{\circ }<\mathrm{\angle }\mathrm{CBA}<{22}^{\circ }$
である。

よって、選択肢のうち
③
の${22}^{\circ }$が最も近い。

解答サ：３

(ii)

さらに、図Ｆの状態のとき、線分${\mathrm{DD}}^{\prime }$（赤い線分）の長さを${\theta }_1$，${\theta }_2$を使って表せという。

図Ｆの青い四角の部分を抜き出すと、図Ｇができる。

図Ｇ中の、
点$\mathrm{E}$，${\mathrm{E}}^{\prime }$は、点$\mathrm{C}$を通る$\mathrm{BD}$と平行な直線と、$\mathrm{AD}$，${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の交点 青い円は、点$\mathrm{C}$を中心とする半径$3$の円 である。

このとき、
$\mathrm{BD}\parallel \mathrm{CE}$，$\mathrm{AD}\parallel {\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$なので、
${\mathrm{DD}}^{\prime }={\mathrm{EE}}^{\prime }$
だから、${\mathrm{EE}}^{\prime }$（図Ｇの赤い線分）の長さを${\theta }_1$，${\theta }_2$で表せばよい。

${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACE}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AC}}}$
より
$\mathrm{CE}=\mathrm{AC}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACE}$
だけど、
$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{\angle }\mathrm{ACE}={\theta }_2-{\theta }_1$
なので、
$\mathrm{CE}=3\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)$式Ａ
である。

また、
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{CE}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{CE}}^{\prime }}{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}}}$
より
${\mathrm{CE}}^{\prime }={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}\cos \mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{CE}}^{\prime }$
だけど、
${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}=3$，$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{CE}}^{\prime }={\theta }_2$
なので、
${\mathrm{CE}}^{\prime }=3\cos {\theta }_2$式Ｂ
である。

ここで、${\mathrm{EE}}^{\prime }$は
${\mathrm{EE}}^{\prime }=\mathrm{CE}-{\mathrm{CE}}^{\prime }$
とかける。
これに式Ａ，式Ｂを代入して、
${\mathrm{EE}}^{\prime }=3\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)-3\cos {\theta }_2$
となるから、
${\mathrm{DD}}^{\prime }=3\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)-3\cos {\theta }_2$
である。

解答い：$3\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)-3\cos {\theta }_2$