大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 問題例記述式を含む問題例１ [1] 解説

解説

まず、根号のはずし方の復習から始めよう。

	$A < 0$ のとき、 $\sqrt{A^{2}} = - A$
	$0 ≦ A$ のとき、 $\sqrt{A^{2}} = A$

である。

問題文中の②から③の計算は、復習より

	$a + 1 < 0$ のとき、 $\sqrt{(a + 1)^{2}} = - (a + 1)$ 式Ａ
	$0 ≦ a + 1$ のとき、 $\sqrt{(a + 1)^{2}} = a + 1$ 式Ｂ

とかける。

いま、 $a$ はすべての実数なので、

	$a < - 1$ のとき、 $a + 1 < 0$
	$- 1 ≦ a$ のとき、 $0 ≦ a + 1$

となるから、 $a$ の値によって $a + 1$ は負になったり $0$ 以上になったりする。

よって、②から③の計算は、 $a$ の値によって式Ａの場合と式Ｂの場合がある。
問題文中の②から③の変形は式Ｂの場合だけしか考えていない。
なので、誤り。

一方、問題文中の⑤から⑥の計算も、復習より

	$a^{2} + 1 < 0$ のとき、 $\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} = - (a^{2} + 1)$ 式Ｃ
	$0 ≦ a^{2} + 1$ のとき、 $\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} = a^{2} + 1$ 式Ｄ

とかける。

しかし、 $a$ は実数なので、
$0 ≦ a^{2}$
より
$0 < a^{2} + 1$
だから、式Ｃの場合は起こらない。

よって、⑤から⑥の計算は必ず式Ｄになるので、問題文中の変形は正しい。

以上、考え方をちょっと丁寧に説明した。
けれど、この問題では誤りである理由だけ説明すればよい。
なので、式Ａになるとき、つまり $a + 1 < 0$ となる $a$ を反例として示した方が簡単だ。

例えば、

解答例誤りである式変形：Ｂ理由：
$\sqrt{(- 11 + 1)^{2}} = 10$ $- 11 + 1 = - 10$ より、 $a = - 11$ を反例として
$\sqrt{(a + 1)^{2}} = a + 1$
は偽であるから。

その他の解答例はここでは省略する。
公開されている解答例はリンクを参照してほしい。

→ 数学入試問題データベースサイト
大学入試数学問題集成さんで
正解例を見る。